Funzioni non lipschitziane

[andy4649]

Mi sto preparando per Analisi I, quindi non ho bisogno di approfondire molto l'argomento, e non ho neanche le basi per farlo, però qui dove il libro definisce le funzioni lipschitziane come le funzioni reali di variabile reale tali che

$|f(x_1)-f(x_2)|<=L|x_1-x_2|, AA x_1, x_2 in R$

(in realtà la definizione si può restringere a un intervallo reale)
mi chiedo come possa esistere una funzione che non sia tale. Capirei se stessimo parlando di limiti, allora può esistere l'infinito, ma un rapporto incrementale, in una funzione, per definizione di funzione!, non può mai essere illimitato. Tra l'altro la definizione, nel libro, chiarisce proprio $x_1!=x_2$ come ipotesi (tra l'altro per definizione di funzione in uno stesso punto si ha un unico valore della funzione).
Insomma, per farla semplice semplice: la funzione è reale giusto? Allora, ponendo senza perdita di generalità $x_1 $f(x_1), f(x_2) in R$, $|x_1-x_2|>0$ quindi $L|x_1-x_2|>0$ può essere sempre superiore a $|f(x_1)-f(x_2)|$.
Se ci fossero i limiti, potrei capire: magari per $x_1$ che tende a $x_2$ il rapporto incrementale può andare crescendo all'infinito, ossia la derivata (che è appunto il limite del rapporto incrementale) divenire infinita, ma stiamo parlando appunto di limiti, non di valori della funzione! Qualcuno può darmi delucidazioni? Ed eventualmente darmi un controesempio proprio con un $x_1$ e un $x_2$ e una qualche funzione non lipschitziana?

[pilloeffe]

Ciao andy4649,

La questione è già stata discussa anche su questo forum, ad esempio qui.

[dissonance]

Ne approfitto per ri-consigliare questa bellissima pagina:

http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm

[andy4649]

Allora, ho guardato la pagina che mi avete linkato ma non capivo ugualmente, poi ho capito dove sta l'errore. Avevo capito male la definizione: avevo capito che, per ogni $x_1, x_2 in R$ esisteva una costante $L$ tale che bla bla, invece è il contrario, esiste una costante $L$ tale che per ogni $x_1, x_2$ bla bla... Cioè io avevo capito, al posto di "il rapporto incrementale non ha limiti superiori", che è la definizione giusta di funzione NON lipschitziana, "il rapporto incrementale in qualsiasi punto non è limitato", il che invece è falso per qualsiasi funzione, infatti il rapporto incrementale è un numero... ma la funzione in due variabili "rapporto incrementale" può assumere valori arbitrariamente grandi, ad esempio in $sin(x^2)$, ciò consegue dal fatto che la derivata è illimitata, perchè andando a destra la funzione assume pendenze sempre maggiori... ok, errore nella definizione, ho invertito i quantificatori