Funzioni monotone: numero di linee orizzontali nel grafico
Devo dimostrare che il grafico fi una funzione monotona $F:[a,b]->[0,1]$ presenta al più un'infinità numerabile di "linee orizzontali".
Ossia l'insieme degli $y\in [0,1]$ tali che
$\exists x!=x'\in[a,b] : F$ costante$=y$ su $[x,x']$
è al più numerabile.
Mi sembra proprio che sia vero e l'idea che mi è venuta per fare la dimostarzione è la seguente.
La distanza tra il livello di una linea orizzontale e quello della seccessiva è necessariamente positiva (altrimenti costituirebbero la stessa linea orizzontale!).
Quindi visto che la somma di queste distanze è uguale a $F(b)-F(a)<\infty$, il numero di linee orizzontali dev'essere al più numerabile.
Tuttavia non riesco a formalizzarla perché, se non so che le linee orizzontali sono numerabili, non ha molto senso parlare di tratto "successivo" !
Mi date una mano a sistemare questo problema?
Ossia l'insieme degli $y\in [0,1]$ tali che
$\exists x!=x'\in[a,b] : F$ costante$=y$ su $[x,x']$
è al più numerabile.
Mi sembra proprio che sia vero e l'idea che mi è venuta per fare la dimostarzione è la seguente.
La distanza tra il livello di una linea orizzontale e quello della seccessiva è necessariamente positiva (altrimenti costituirebbero la stessa linea orizzontale!).
Quindi visto che la somma di queste distanze è uguale a $F(b)-F(a)<\infty$, il numero di linee orizzontali dev'essere al più numerabile.
Tuttavia non riesco a formalizzarla perché, se non so che le linee orizzontali sono numerabili, non ha molto senso parlare di tratto "successivo" !
Mi date una mano a sistemare questo problema?
Risposte
Non so se è la strada giusta e se ho capito bene il problema. Ad ogni modo forse questo lemma può fare al caso tuo:
Lemma: Un insieme di intervalli privi a due a due di punti in comune è al più numerabile.
C'è una biezione tra l'insieme degli intervalli $]x , x'[$ e le linee orizzontali. Ma all'insieme degli intervalli $] x , x' [$ si può applicare il lemma...
Lemma: Un insieme di intervalli privi a due a due di punti in comune è al più numerabile.
C'è una biezione tra l'insieme degli intervalli $]x , x'[$ e le linee orizzontali. Ma all'insieme degli intervalli $] x , x' [$ si può applicare il lemma...
Un altro modo di vedere le cose è considerando che una funzione monotona ha al più un'infinità numerabile di punti di discontinuità (risultato che io ho studiato come conseguenza del lemma del post precedente).
Con quel lemma la dimostrazione sarebbe immediata. Ne trovo la dimostrazione su internet? Oppure me la puoi accenare per favore?
Per rispondere al tuo secondo posto: anch'io inizialmente avevo pensato di usare il risultato sui punti di discontinuità, però ad una linea orizzontale non corrisponde necessariamente una discontinuità.
Si beh il suggerimento di Seneca si può snocciolare un po' così: tra ogni $x, x'$ cade necessariamente un numero razionale. Allora puoi associare ad ogni linea orizzontale un numero razionale e quindi la cardinalità delle linee orizzontali non può eccedere quella dei razionali.
Grazie mille! E' molto più semplice di quello che pensavo allora.. e non c'è nemmeno bisogno dell'ipotesi di monotonia sulla $F$
Per dirne un'altra, all'impronta.
Una funzione monotona è invertibile in senso generalizzato e la sua inversa generalizzata è una funzione con la stessa monotonia; i tratti orizzontali della funzione di partenza corrispondono ai salti della sua inversa generalizzata; per un noto teorema sulle discontinuità delle funzioni monotone, l'inversa generalizzata ha al più un'infinità numerabile di salti; quindi la funzione di partenza ha al più un'infinità numerabile di tratti orizzontali.
La funzione inversa in senso generalizzato si definisce come detto qui: se qualcuno si volesse prendere la briga di terminare l'esercizio...
Una funzione monotona è invertibile in senso generalizzato e la sua inversa generalizzata è una funzione con la stessa monotonia; i tratti orizzontali della funzione di partenza corrispondono ai salti della sua inversa generalizzata; per un noto teorema sulle discontinuità delle funzioni monotone, l'inversa generalizzata ha al più un'infinità numerabile di salti; quindi la funzione di partenza ha al più un'infinità numerabile di tratti orizzontali.
La funzione inversa in senso generalizzato si definisce come detto qui: se qualcuno si volesse prendere la briga di terminare l'esercizio...
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