Funzioni misurabili

[sirio25788-votailprof]

Salve a tutti,
vorrei chiedere il vostro aiuto riguardo ad una dimostrazione relativa alle funzioni misurabili:

sia $\Omega sube R^n$ misurabile e $f:\Omega\rightarrowR$

allora dirò f è misurabile se in maniera equivalente
1)$AA t in R$ l'insieme ${x in \Omega: f(x) 2)$AA t in R$ l'insieme ${x in \Omega: f(x)>=t}$ è misurabile
3)$AA t in R$ l'insieme ${x in \Omega: f(x)>t}$ è misurabile
4)$AA t in R$ l'insieme ${x in \Omega: f(x)<=t}$ è misurabile

Si può dimostrare che 1)$\Rightarrow$2) ed è semplice.
Ciò che non riesco a capire è come fare a dimostrare che 2)$\Rightarrow$3)

[_prime_number]

$\{x:f(x)> t\}=\{x:f(x)\geq t \}\cap\{x: f(x)=t\}^c$
quindi si riduce a dimostrare che $\{x: f(x)=t\}$ è misurabile per ogni $t$.
Si potrebbe considerare per ogni $n$ l'insieme $A_n=\{x: f(x)\geq t-1/n\}\cap\{x: f(x)\geq t+1/n\}^c$, per ipotesi misurabile. Allora $\{x: f(x)=t\}=\bigcap_n A_n$ è misurabile.

Paola

[sirio25788-votailprof]

"prime_number":$\{x:f(x)> t\}=\{x:f(x)\geq t \}\cap\{x: f(x)=t\}^c$
quindi si riduce a dimostrare che $\{x: f(x)=t\}$ è misurabile per ogni $t$.
Si potrebbe considerare per ogni $n$ l'insieme $A_n=\{x: f(x)\geq t-1/n\}\cap\{x: f(x)\geq t+1/n\}^c$, per ipotesi misurabile. Allora $\{x: f(x)=t\}=\bigcap_n A_n$ è misurabile.

Paola

Come prima cosa ti ringrazio per la risposta. Tutto chiarissimo. Permettimi comunque di essere più specifico riguardo il mio dubbio. Ecco la dimostrazione che mi è stata data dal mio prof:

dato che per ipotesi $\{x:f(x)>= t\}$ è misurabile, posso considerare una successione ${x:f(x)>= t+1/k}$ di insiemi limitati. L'unione di tali insiemi sarà inoltre un insieme limitato. Devo quindi riuscire a dimostrare che
${x:f(x)> t}=uuu_{k in n} {x:f(x)>= t+1/k}$.
Se considero un certo x appartenente a $uuu_{k in n} {x:f(x)>= t+1/k}$ è facile dimostrare che appartiene anche ${x:f(x)> t}$.
Ciò che non so come dimostrare è il viceversa.

[_prime_number]

Ok. Sia $x$ tale che $f(x)>t $ che equivale a dire $\delta:=f(x)-t >0$. Dato che la successione $1/k$ è decrescente e tende a $0$, sarà certamente possibile trovare un $n$ per cui $0<1/n<\delta$. Dunque si ha $\delta=f(x)-t>1/n \to f(x)>t+1/n$.

Paola

[sirio25788-votailprof]

Grazie