Funzioni misurabili
Ho questi 3 punti che ho estratto dalla trentina di esercizi che ho svolto ma che secondo me non vanno come ragionamento.
1. Date $f(x)$ e $g(x)$ misurabili, provare che risulta $h(x)= \max \{f(x),g(x)\}$ misurabile.
Risposta.
Divido il dominio della funzione $h(x)$ in 2 parti: una dove $f(x)>=g(x)$ l'altra dove vale l'opposto perché il massimo - cioè la $h(x)$ - è $f(x)$ quando vale la prima condizione e $g(x)$ quando vale la seconda.
$h$ è misurabile se, per qualsiasi $c\in \RR, \{h(x)>c\}$ è misurabile (in pratica la definizione); questo insieme è l'unione degli insiemi ${g>c}$ e ${f>c}$ quando soddisfano le condizioni per cui ho diviso il dominio di $h$, cioè ristrette alla divisione del dominio operata in $h$, e quindi è misurabile in quanto unione di insiemi misurabili perché in partenza $f$ e $g$ sono misurabili.
2. Trovare esempi di funzioni $f$ e $g$ non misurabili tali che la loro somma e il loro prodotto è misurabile.
Risposta.
Ho scelto con $f$ la funzione caratteristica dell'insieme di Lebesgue non misurabile contenuto in $[0,1]$ definito nell'omonimo teorema ("esiste un sottoinsieme di $[0,1]$ non misurabile") e con $g$ la funzione caratteristica del complementare dell'insieme considerato in $f$ intersecato con $[0,1]$. Poiché la funzione caratteristica è misurabile solo se lo è il suo insieme di riferimento, la $f$ e la $g$ non sono misurabili ma, in $[0,1]$ la loro somma è 1 e il loro prodotto è 0 e somma e prodotto sono entrambi misurabili.
3. Se una successione ${f_n}$ converge in misura a due limiti $f$ e $g$ allora questi due limiti sono uguali q.o..
Risposta.
La convergenza in misura implica la convergenza puntuale (ho visto, tra l'altro, anche http://www.matematicamente.it/forum/norma-infinito-e-convergenza-quasi-uniforme-t38075.html), quindi se la successione converge puntualmente a 2 limiti allora questi risultano essere lo stesso limite.
Secondo me c'è qualcosa che non va nei miei ragionamenti anche perché con i corsi di analisi ho imparato che la soluzione più semplice e intuitiva spesso è quella sbagliata...
1. Date $f(x)$ e $g(x)$ misurabili, provare che risulta $h(x)= \max \{f(x),g(x)\}$ misurabile.
Risposta.
Divido il dominio della funzione $h(x)$ in 2 parti: una dove $f(x)>=g(x)$ l'altra dove vale l'opposto perché il massimo - cioè la $h(x)$ - è $f(x)$ quando vale la prima condizione e $g(x)$ quando vale la seconda.
$h$ è misurabile se, per qualsiasi $c\in \RR, \{h(x)>c\}$ è misurabile (in pratica la definizione); questo insieme è l'unione degli insiemi ${g>c}$ e ${f>c}$ quando soddisfano le condizioni per cui ho diviso il dominio di $h$, cioè ristrette alla divisione del dominio operata in $h$, e quindi è misurabile in quanto unione di insiemi misurabili perché in partenza $f$ e $g$ sono misurabili.
2. Trovare esempi di funzioni $f$ e $g$ non misurabili tali che la loro somma e il loro prodotto è misurabile.
Risposta.
Ho scelto con $f$ la funzione caratteristica dell'insieme di Lebesgue non misurabile contenuto in $[0,1]$ definito nell'omonimo teorema ("esiste un sottoinsieme di $[0,1]$ non misurabile") e con $g$ la funzione caratteristica del complementare dell'insieme considerato in $f$ intersecato con $[0,1]$. Poiché la funzione caratteristica è misurabile solo se lo è il suo insieme di riferimento, la $f$ e la $g$ non sono misurabili ma, in $[0,1]$ la loro somma è 1 e il loro prodotto è 0 e somma e prodotto sono entrambi misurabili.
3. Se una successione ${f_n}$ converge in misura a due limiti $f$ e $g$ allora questi due limiti sono uguali q.o..
Risposta.
La convergenza in misura implica la convergenza puntuale (ho visto, tra l'altro, anche http://www.matematicamente.it/forum/norma-infinito-e-convergenza-quasi-uniforme-t38075.html), quindi se la successione converge puntualmente a 2 limiti allora questi risultano essere lo stesso limite.
Secondo me c'è qualcosa che non va nei miei ragionamenti anche perché con i corsi di analisi ho imparato che la soluzione più semplice e intuitiva spesso è quella sbagliata...
Risposte
"Zero87":
1. Date $f(x)$ e $g(x)$ misurabili, provare che risulta $h(x)= \max \{f(x),g(x)\}$ misurabile.
Risposta.
Divido il dominio della funzione $h(x)$ in 2 parti: una dove $f(x)>=g(x)$ l'altra dove vale l'opposto perché il massimo - cioè la $h(x)$ - è $f(x)$ quando vale la prima condizione e $g(x)$ quando vale la seconda.
$h$ è misurabile se, per qualsiasi $c\in \RR, \{h(x)>c\}$ è misurabile (in pratica la definizione); questo insieme è l'unione degli insiemi ${g>c}$ e ${f>c}$ quando soddisfano le condizioni per cui ho diviso il dominio di $h$, cioè ristrette alla divisione del dominio operata in $h$, e quindi è misurabile in quanto unione di insiemi misurabili perché in partenza $f$ e $g$ sono misurabili.
Secondo me viene più facile se tieni presente che [tex]$h$[/tex] è misurabile anche se e solo se [tex]$\{ h
"Zero87":
2. Trovare esempi di funzioni $f$ e $g$ non misurabili tali che la loro somma e il loro prodotto è misurabile.
Risposta.
Ho scelto con $f$ la funzione caratteristica dell'insieme di Lebesgue non misurabile contenuto in $[0,1]$ definito nell'omonimo teorema ("esiste un sottoinsieme di $[0,1]$ non misurabile") e con $g$ la funzione caratteristica del complementare dell'insieme considerato in $f$ intersecato con $[0,1]$. Poiché la funzione caratteristica è misurabile solo se lo è il suo insieme di riferimento, la $f$ e la $g$ non sono misurabili ma, in $[0,1]$ la loro somma è 1 e il loro prodotto è 0 e somma e prodotto sono entrambi misurabili.
Ottimo.
"Zero87":
3. Se una successione ${f_n}$ converge in misura a due limiti $f$ e $g$ allora questi due limiti sono uguali q.o..
Risposta.
La convergenza in misura implica la convergenza puntuale (ho visto, tra l'altro, anche http://www.matematicamente.it/forum/norma-infinito-e-convergenza-quasi-uniforme-t38075.html), quindi se la successione converge puntualmente a 2 limiti allora questi risultano essere lo stesso limite.
Secondo me si può fare direttamente...
Per far vedere che [tex]$f=g \text{ q.o. [$\mu$]}$[/tex] bisogna mostrare, ad esempio, che [tex]$\mu \left( \{ |f-g|>0\}\right) =0$[/tex].
Fissa [tex]$\varepsilon >0$[/tex] e considera l'insieme [tex]$\{ |f-g|>\varepsilon\}$[/tex]: per disuguaglianza triangolare hai, per ogni [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex]:
[tex]$\{ |f-g|>\varepsilon \} \subseteq \{ |f-f_n| >\frac{\varepsilon}{2}\} \cup \{ |g-f_n|>\frac{\varepsilon}{2}\}$[/tex],
quindi per subadditività:
[tex]$\mu \Big( \{ |f-g|>\varepsilon \} \Big) \leq \mu \Big( \{ |f-f_n| >\frac{\varepsilon}{2}\} \Big) +\mu \Big( \{ |g-f_n| >\frac{\varepsilon}{2}\}\Big)$[/tex]
e passando al limite su [tex]$n$[/tex] si vede che [tex]$\mu \Big( \{ |f-g|>\varepsilon \} \Big) =0$[/tex].
Da qui dovresti concludere facilmente, se non sbaglio.
"Zero87":
Secondo me c'è qualcosa che non va nei miei ragionamenti anche perché con i corsi di analisi ho imparato che la soluzione più semplice e intuitiva spesso è quella sbagliata...
Azz... E in Algebra, allora?
"gugo82":
[quote="Zero87"]Secondo me c'è qualcosa che non va nei miei ragionamenti anche perché con i corsi di analisi ho imparato che la soluzione più semplice e intuitiva spesso è quella sbagliata...
Azz... E in Algebra, allora?
[/quote]Incredibile, ce ne sono addirittura di più facili di soluzioni!
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