Funzioni misurabili
Buonasera ragazzi.
Se $(X,\mathcal{M})$ e $(Y,\tau)$ sono rispettivamente uno spazio misurabile e uno spazio topologico, una funzione $f:X\to Y$ si dice misurabile se $\forall V\in \tau$ è $f^{-1}(V)\in\mathcal{M}$.
Mi chiedo: se $f(X)=Y'\ne Y$, ho che $f$ è misurabile se e solo se è misurabile la corestrizione $f_#:X\to (Y',\tau')$, essendo $\tau'$ la topologia indotta da $Y$ su $Y'$?
Se $(X,\mathcal{M})$ e $(Y,\tau)$ sono rispettivamente uno spazio misurabile e uno spazio topologico, una funzione $f:X\to Y$ si dice misurabile se $\forall V\in \tau$ è $f^{-1}(V)\in\mathcal{M}$.
Mi chiedo: se $f(X)=Y'\ne Y$, ho che $f$ è misurabile se e solo se è misurabile la corestrizione $f_#:X\to (Y',\tau')$, essendo $\tau'$ la topologia indotta da $Y$ su $Y'$?
Risposte
Si. Se \(U'\subset Y'\) è un aperto allora \(U'=U\cap Y'\) per qualche aperto \(U\) di \(Y\). A livello di controimmagini abbiamo che
\[
f^{-1}(U')=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(Y')=f^{-1}(U)\cap X=f^{-1}(U), \]
quindi il membro destro è misurabile se e solo se lo è il membro sinistro.
\[
f^{-1}(U')=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(Y')=f^{-1}(U)\cap X=f^{-1}(U), \]
quindi il membro destro è misurabile se e solo se lo è il membro sinistro.
Thanks! 
Approfitto di questo 3d, tanto siamo in tema.
Leggo sul Rudin - Analisi Reale e Complessa questa proposizione:
La dimostrazione procede così: si considera la $\sigma$-algebra $f(\mathcal{M})$ su $[-\infty,+\infty]$ i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di $[-\infty,+\infty]$ che hanno controimmagine tramite $f$ misurabile.[nota]Detto altrimenti:
\[E\in f(\mathcal{M})\iff f^{-1}(E)\in\mathcal{M}\qquad (E\subseteq [-\infty,+\infty])\][/nota] La tesi è che $f(\mathcal{M})$ contiene tutti gli aperti.
Per ipotesi tutte le semirette $(\alpha,+\infty]$ stanno in $f(\mathcal{M})$, e facilmente si verifica lo stesso per gli intervalli aperti $(\alpha,\beta)$ e per le semirette $[-\infty,\alpha)$. Dunque $f(\mathcal{M})$ contiene la base della topologia di $[-\infty,+\infty]$.
Domanda: come segue da ciò che $f(\mathcal{M})$ contiene tutti gli aperti?
Il libro dice:
Intendeva forse "unione numerabile"? In tal caso, come posso capacitarmi di ciò?
Considero intervalli e semirette con estremi razionali?
Leggo sul Rudin - Analisi Reale e Complessa questa proposizione:
Sia $(X,\mathcal{M})$ uno spazio misurabile e $f:X\to [-\infty,+\infty]$[nota]Su $[-\infty,+\infty]$ è montata la topologia "naturale", generata dagli intervalli aperti e dalle semirette del tipo $[-\infty,\alpha)$, $(alpha,+\infty]$[/nota]. Supponiamo che per ogni $\alpha\in RR$ sia $f^{-1}((alpha,+\infty])\in\mathcal{M}$. Allora $f$ è misurabile.
La dimostrazione procede così: si considera la $\sigma$-algebra $f(\mathcal{M})$ su $[-\infty,+\infty]$ i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di $[-\infty,+\infty]$ che hanno controimmagine tramite $f$ misurabile.[nota]Detto altrimenti:
\[E\in f(\mathcal{M})\iff f^{-1}(E)\in\mathcal{M}\qquad (E\subseteq [-\infty,+\infty])\][/nota] La tesi è che $f(\mathcal{M})$ contiene tutti gli aperti.
Per ipotesi tutte le semirette $(\alpha,+\infty]$ stanno in $f(\mathcal{M})$, e facilmente si verifica lo stesso per gli intervalli aperti $(\alpha,\beta)$ e per le semirette $[-\infty,\alpha)$. Dunque $f(\mathcal{M})$ contiene la base della topologia di $[-\infty,+\infty]$.
Domanda: come segue da ciò che $f(\mathcal{M})$ contiene tutti gli aperti?
Il libro dice:
"W. Rudin":
Poiché ogni insieme aperto in $[-\infty,+\infty]$ è un'unione misurabile (?) di segmenti dei tipi precedenti, $f(\mathcal{M})$ contiene ogni insieme aperto; pertanto $f$ è misurabile.
Intendeva forse "unione numerabile"? In tal caso, come posso capacitarmi di ciò?
Considero intervalli e semirette con estremi razionali?
Chiaramente intendeva "unione numerabile". E si, si fa come dici tu. Infine: (IMHO) non ti fissare troppo su questi dettagli, piuttosto vai avanti e vedi di studiare le cose veramente interessanti.
Mi sa che c'hai ragione...andando di 'sto passo sanità mentale e puntualità con gli esami non potrebbero essere compatibili.
[ot]Il passaggio da Analisi 4 a Istituzioni 1 sta essendo parecchio brusco
sarà che siamo all'inizio del programma (solo oggi sono state definite le misure su $\sigma$-algebre), ma tutta questa astrazione mi sta un po' disorientando.[/ot]
Grazie ancora
[ot]Il passaggio da Analisi 4 a Istituzioni 1 sta essendo parecchio brusco
sarà che siamo all'inizio del programma (solo oggi sono state definite le misure su $\sigma$-algebre), ma tutta questa astrazione mi sta un po' disorientando.[/ot]Grazie ancora
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