Funzioni meromorfe
ciao a tutti..studiando variabile complessa sul libro di Stein-Shakarchi ho trovato la definizione di funzione meromorfa sul piano complesso esteso col punto all'infinito, come meromorfa su $C$ e meromorfa(o olomorfa) nel punto all'infinito definendo la natura dell comportamento della funzione all'infinito come il comportamento che ha in 0 se calcolata su $\frac{1}{z}$(il solito "gioco" delle coordinate proiettive)..a questo punto viene dimostrato che le funzioni meromorfe nel piano complesso esteso sono solo le razionali fratte...intuitivamente mi sembra vero perchè per esempio l'esponenziale, che cresce più di ogni polinomio, all'infinito si comporta come $e^{\frac{1}{z}}$ in 0 e lì ha una singolarità essenziale..quello che non riesco a capire è il primo passo della dimostrazione in cui viene detto :
"Suppose that f is meromorphic in the extended plane. Then f(1/z) has either a pole or a removable singularity at 0, and in either case it must be holomorphic in a deleted neighborhood of the origin, so that the function f can have only finitely many poles in the plane.."
ma poi non spiega perchè...io ho pensato che se i poli fossero infiniti allora f(1/z) dovrebbe avere infiniti zeri in ogni intorno(limitato) dell'origine, ma allora l'insieme degli zeri avrebbe un punto di accumulazione e quindi per un teorema dovrebbe essere nulla in C\{0} e quindi f(z) sarebbe costante con f(z)=[0,1] punto all'infinito ma questo è assurdo.. volevo sapere se questo ragionamento è corretto grazie..
"Suppose that f is meromorphic in the extended plane. Then f(1/z) has either a pole or a removable singularity at 0, and in either case it must be holomorphic in a deleted neighborhood of the origin, so that the function f can have only finitely many poles in the plane.."
ma poi non spiega perchè...io ho pensato che se i poli fossero infiniti allora f(1/z) dovrebbe avere infiniti zeri in ogni intorno(limitato) dell'origine, ma allora l'insieme degli zeri avrebbe un punto di accumulazione e quindi per un teorema dovrebbe essere nulla in C\{0} e quindi f(z) sarebbe costante con f(z)=[0,1] punto all'infinito ma questo è assurdo.. volevo sapere se questo ragionamento è corretto grazie..
Risposte
Io direi che se $f(1/z)$ è olomorfa in $B(0,\epsilon)$ allora $f$ è olomorfa nel complementare della palla $B(0,1/\epsilon)$.
Quindi tutti i poli di $f$ sono in $B(0,1/\epsilon)$. A questo punto sono un numero finito
(essendo $f$ meromorfa).
Nel tuo ragionamento mi sembra che su sottintenda che un polo di $f$ diventa uno zero di $f(1/z)$, cosa che mi pare falsa.
Quindi tutti i poli di $f$ sono in $B(0,1/\epsilon)$. A questo punto sono un numero finito
(essendo $f$ meromorfa).
Nel tuo ragionamento mi sembra che su sottintenda che un polo di $f$ diventa uno zero di $f(1/z)$, cosa che mi pare falsa.
si scusa volevo dire che $\frac{1}{f({1}{z})}$ ha infiniti zeri in ogni intorno dell'origine e quindi ho punto d'accumulazione per gli zeri per cui sarebbe nulla su C\{0}...da questo teorema poi avrei i seguenti esercizi :
sia $F: P^1(C)-> P^1(C)$ olomorfa allora
1) supposto che la restrizione di $F$ a $C$ sia intera dimostrare che esiste $p\in C[t]$ tale che $F([1,t])=[1,p(t)}$
2) sia $[w_0,z_0] \in P^1(C)$ dimostrare che :
a) $Im F=\{[w_0,z_0]\}$ oppure
b) $F^{-1} \{[w_0,z_0]\}$ è finito
3) se $Im F\neq \{[0,1]\}$ cioè la restrizione di $F$ a $C$ definisce una funzione meromorfa su $C$ $f$, allora per 2) esiste $\q \in C[t]$ tale che $fq$ è intera. Dimostrare che $qf$ si estende a olomorfa $P^1(C)->P^1(C)$
4) dimostrare che
a) $Im F=\{[0,1]\}$ oppure
b) la restrizione di $F$ a $C$ è una funzione razionale
hai qualche idea o strategia per risolverli?
sia $F: P^1(C)-> P^1(C)$ olomorfa allora
1) supposto che la restrizione di $F$ a $C$ sia intera dimostrare che esiste $p\in C[t]$ tale che $F([1,t])=[1,p(t)}$
2) sia $[w_0,z_0] \in P^1(C)$ dimostrare che :
a) $Im F=\{[w_0,z_0]\}$ oppure
b) $F^{-1} \{[w_0,z_0]\}$ è finito
3) se $Im F\neq \{[0,1]\}$ cioè la restrizione di $F$ a $C$ definisce una funzione meromorfa su $C$ $f$, allora per 2) esiste $\q \in C[t]$ tale che $fq$ è intera. Dimostrare che $qf$ si estende a olomorfa $P^1(C)->P^1(C)$
4) dimostrare che
a) $Im F=\{[0,1]\}$ oppure
b) la restrizione di $F$ a $C$ è una funzione razionale
hai qualche idea o strategia per risolverli?
Però non capisco come esca fuori $1/f$ dato che, se ben ricordo, $f$ meromorfa all'infinito significa $f(1/z)$ meromorfa in zero.
Rileggendo il mio post precedente mi sono accorto di un errore -- intendevo:
Io direi che se $f(1/z)$ è olomorfa in $B(0,ε)\setminus{0}$ allora ...
Rileggendo il mio post precedente mi sono accorto di un errore -- intendevo:
Io direi che se $f(1/z)$ è olomorfa in $B(0,ε)\setminus{0}$ allora ...
esattamente io ho trasformato un problema di poli in un problema di zeri ma tanto nella retta proiettiva vale $[w,z]=[1,\frac{z}{w}]=[\frac{w}{z},1]$ se entrambi diversi da zero
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