Funzioni localmente limitate

[Monymate]

Ho una funzione $P(t,x)$ e so che
$||P_x||_{L^{\infty}([0,T]\times[0, +\infty))}\leq1$
$||P_t(t,.)||_{L^{\infty}[0, +\infty))\leq\frac{C}{\sqrt{T-t}}$
Quindi so che sia la derivata parziale rispetto a $t$ che la derivata parziale rispetto a $x$ sono localmente limitate.

Adesso pongo $P(t,x)=F(t,logx)$
Il mio libro dice che anche le funzioni $F_t$ e $F_x$ sono localmente limitate.

Ma se non mi sbaglio ho:
$F(t,x)=P(t,e^x)$
$F_t=P_t$ e quindi ok
Ma $F_x=P_xe^x$
Come fa $F_x$ a essere localmente limitata?
Grazie

[Rigel1]

"Monymate":Ma $F_x=P_xe^x$
Come fa $F_x$ a essere localmente limitata?

Basta ricordarsi il significato della parola in grassetto.

[Monymate]

Limitata sui compatti. Ok, ho capito grazie.
In realtà dopo c'è anche un teorema, che non è dimostrato, in cui si dice che in particolare $F_x$ è globalmente limitata.
Questo a occhio però non si può vedere.
Dipenderà da come è fatta $P$ (perché $P$ è una funzione particolare che si usa in probabilità) e dalle sue proprietà, giusto?

[Rigel1]

Beh, direi di sì.
In generale non puoi dire che \(F_x\) è limitata se non sai che \(P_x\) decade (almeno) esponenzialmente per \(x\to+\infty\).