Funzioni localmente integrabili
Esiste il seguente teorema:
Data una funzione, definita in un qualsiasi intervallo dei reali,
se è limitata in ogni suo sottointervallo chiuso e limitato
ed ha un numero finito o al massimo un'infinità numerabile di punti di discontinuità
allora
la funzione è localmente integrabile secondo Riemann.
Quello che mi domando è:
La suddetta implicazione è invertibile? Cioè le due affermazioni:
1) è limitata in ogni suo sottointervallo chiuso e limitato
ed ha un numero finito o al massimo un'infinità numerabile di punti di discontinuità
2) è localmente integrabile secondo Riemann
sono proprio equivalenti?
So che esiste al riguardo il Teorema di Vitali–Lebesgue, ma è possibile usare le parole suddette senza tirare in ballo il concetto di misura di Lebesgue?
Se non sono equivalenti,
mi sapete dare un esempio di funzione che rispetta l'affermazione 2) ma non la 1) ?
Grazie mille
Data una funzione, definita in un qualsiasi intervallo dei reali,
se è limitata in ogni suo sottointervallo chiuso e limitato
ed ha un numero finito o al massimo un'infinità numerabile di punti di discontinuità
allora
la funzione è localmente integrabile secondo Riemann.
Quello che mi domando è:
La suddetta implicazione è invertibile? Cioè le due affermazioni:
1) è limitata in ogni suo sottointervallo chiuso e limitato
ed ha un numero finito o al massimo un'infinità numerabile di punti di discontinuità
2) è localmente integrabile secondo Riemann
sono proprio equivalenti?
So che esiste al riguardo il Teorema di Vitali–Lebesgue, ma è possibile usare le parole suddette senza tirare in ballo il concetto di misura di Lebesgue?
Se non sono equivalenti,
mi sapete dare un esempio di funzione che rispetta l'affermazione 2) ma non la 1) ?
Grazie mille
Risposte
Pongo la stessa domanda in altro modo:
l'affermazione 2) non implicherebbe l'affermazione 1) se riuscissimo a trovare un esempio di :
funzione limitata su ogni sottointervallo limitato e chiuso
(pensiamo semplicemente ad una funzione definita sul classico intervallo [0,1] e limitata)
che abbia un'infinità non numerabile di punti di discontinuità,
ma che sia integrabile secondo Riemann.
Esiste una tale funzione?
Potete trovarne un esempio?
Se non esiste allora le due affermazioni sono equivalenti.
l'affermazione 2) non implicherebbe l'affermazione 1) se riuscissimo a trovare un esempio di :
funzione limitata su ogni sottointervallo limitato e chiuso
(pensiamo semplicemente ad una funzione definita sul classico intervallo [0,1] e limitata)
che abbia un'infinità non numerabile di punti di discontinuità,
ma che sia integrabile secondo Riemann.
Esiste una tale funzione?
Potete trovarne un esempio?
Se non esiste allora le due affermazioni sono equivalenti.
Ovviamente no, non sono equivalenti (altrimenti gli insiemi di misura nulla secondo Lebesgue sarebbero al più numerabili, e tutta la teoria che serve a distinguere le varie nozioni matematiche di "grande" e "piccolo" sarebbe inutile).
Esistono funzioni "fortemente" discontinue nel senso della cardinalità (il che vuol dire che sono discontinue in un insieme più che numerabile di punti) ma integrabili perché "poco" discontinue nel senso della misura (il che vuole dire che hanno insieme di discontinuità di misura nulla): ad esempio, la funzione di Thomae o la funzione caratteristica dell'insieme di Cantor.
Esistono funzioni "fortemente" discontinue nel senso della cardinalità (il che vuol dire che sono discontinue in un insieme più che numerabile di punti) ma integrabili perché "poco" discontinue nel senso della misura (il che vuole dire che hanno insieme di discontinuità di misura nulla): ad esempio, la funzione di Thomae o la funzione caratteristica dell'insieme di Cantor.
Grazie gugo82,
però devo confessarti che questa frase non l'ho molto capita:
Inoltre la funzione di Thomae (che è la funzione di Dirichlet modificata) non può essere il nostro esempio in questione:
perchè lei è discontinua in tutti i punti razionali (che sono numerabili) e continnua sugli irrazionali.
Quindi non ha un'infinità non numerabile di punti discontinuità.
Invece costruire la funzione caratteristica dell'insieme di Cantor (un insieme che è NON numerabile, ma ha misura nulla), cioè una funzione che assume :
- 1 nell'insieme di Cantor
- 0 fuori di esso,
è sicuramente interessante.
Ma mi sembra che questa funzione, come la funzione di Dirichlet, è discontinua sia nei punti dell'insieme di Cantor che fuori di esso ed alla fine credo che non risulti nemmeno integrabile.
Ci vorrebbe invece una funzione caratteristica dell'insieme di Cantor, ma modificata nello stile della funzione di Thomae, cioè che assume
- un qualche valore "sempre più vicino allo zero" se il punto è nell'insieme di Cantor
- 0 se il punto non è nell'insieme di Cantor
Ma come si fa?
Cioè nell'insieme di Cantor, non ci sono solo i razionali , ma anche gli irrazionali, quindi come fai a fare il giochetto che si fa nella funzione di Thomae, in cui si assegna al numero razionale (per l'appunto numero razionale) la sua frazione ridotta, ma ponendo 1 come numeratore ?
Se si riuscisse a fare una cosa del genere allora sì che avremmo una funzione:
- ovviamente limitata
- discontinua nell'insieme di Cantor (che è non numerabile)
- continua fuori di esso (con valore nullo)
- e suppongo integrabile con integrale nullo
(analogamente alla funzione di Thomae)
però devo confessarti che questa frase non l'ho molto capita:
Ovviamente no, non sono equivalenti (altrimenti gli insiemi di misura nulla secondo Lebesgue sarebbero al più numerabili, e tutta la teoria che serve a distinguere le varie nozioni matematiche di "grande" e "piccolo" sarebbe inutile).
Inoltre la funzione di Thomae (che è la funzione di Dirichlet modificata) non può essere il nostro esempio in questione:
perchè lei è discontinua in tutti i punti razionali (che sono numerabili) e continnua sugli irrazionali.
Quindi non ha un'infinità non numerabile di punti discontinuità.
Invece costruire la funzione caratteristica dell'insieme di Cantor (un insieme che è NON numerabile, ma ha misura nulla), cioè una funzione che assume :
- 1 nell'insieme di Cantor
- 0 fuori di esso,
è sicuramente interessante.
Ma mi sembra che questa funzione, come la funzione di Dirichlet, è discontinua sia nei punti dell'insieme di Cantor che fuori di esso ed alla fine credo che non risulti nemmeno integrabile.
Ci vorrebbe invece una funzione caratteristica dell'insieme di Cantor, ma modificata nello stile della funzione di Thomae, cioè che assume
- un qualche valore "sempre più vicino allo zero" se il punto è nell'insieme di Cantor
- 0 se il punto non è nell'insieme di Cantor
Ma come si fa?
Cioè nell'insieme di Cantor, non ci sono solo i razionali , ma anche gli irrazionali, quindi come fai a fare il giochetto che si fa nella funzione di Thomae, in cui si assegna al numero razionale (per l'appunto numero razionale) la sua frazione ridotta, ma ponendo 1 come numeratore ?
Se si riuscisse a fare una cosa del genere allora sì che avremmo una funzione:
- ovviamente limitata
- discontinua nell'insieme di Cantor (che è non numerabile)
- continua fuori di esso (con valore nullo)
- e suppongo integrabile con integrale nullo
(analogamente alla funzione di Thomae)
No, la funzione caratteristica dell'insieme di Cantor va bene, prova a riflettere in generale su quale sia l'insieme dei punti di continuità della funzione caratteristica di un insieme (sarebbe meglio se regioni in termini topologici, e a quel punto lo puoi fare anche con più generalità). Però sulla funzione di Thomae hai ragione.
Cavolo!!!!!
Bè per me è strabiliante che mentre la funzione caratteristica dell'insieme dei razionali (cioè la funzione di Dirichlet) non sia integrabile secondo Riemann, quella sull'insieme di Cantor invece lo sia.
Entrambe le funzioni sono funzioni caratteristiche, cioè "saltellano come pazze" da 0 a 1 senza valori intermedi (è questo che mi fa impazzire ).
Ma con la differenza che mentre
- la prima lo fa dall'insieme dei razionali al suo insieme complementare,
(ed in questo caso tutti i punti sono punti di discontinuità)
- la seconda lo fa dall'insieme di Cantor al suo complementare
(ma in questo caso solo i punti dell'insieme di Cantor sono punti di discontinuità, mentre i restanti sono di continuità!!! )
Giusto?
Ma mi piacerebbe sottolineare meglio la cosa che mi fa impazzire:
la funzione identicamente nulla definita su [0,1], ha ovviamente integrale 0.
Ma se "tolgo" tutti i punti razionali (un infinito numerabile) elevandoli a 1, l'integrale non è più "fattibile".
Se però ne "tolgo" molti di più (un infinito del continuo), elevando a 1 tutti i punti dell'insieme di Cantor, l'integrale ridiventa"fattibile" ed è sempre 0!!!
Però bò ok. Questioni di topologia come dicevi bene tu
Bè per me è strabiliante che mentre la funzione caratteristica dell'insieme dei razionali (cioè la funzione di Dirichlet) non sia integrabile secondo Riemann, quella sull'insieme di Cantor invece lo sia.
Entrambe le funzioni sono funzioni caratteristiche, cioè "saltellano come pazze" da 0 a 1 senza valori intermedi (è questo che mi fa impazzire ).
Ma con la differenza che mentre
- la prima lo fa dall'insieme dei razionali al suo insieme complementare,
(ed in questo caso tutti i punti sono punti di discontinuità)
- la seconda lo fa dall'insieme di Cantor al suo complementare
(ma in questo caso solo i punti dell'insieme di Cantor sono punti di discontinuità, mentre i restanti sono di continuità!!! )
Giusto?
Ma mi piacerebbe sottolineare meglio la cosa che mi fa impazzire:
la funzione identicamente nulla definita su [0,1], ha ovviamente integrale 0.
Ma se "tolgo" tutti i punti razionali (un infinito numerabile) elevandoli a 1, l'integrale non è più "fattibile".
Se però ne "tolgo" molti di più (un infinito del continuo), elevando a 1 tutti i punti dell'insieme di Cantor, l'integrale ridiventa"fattibile" ed è sempre 0!!!
Però bò ok. Questioni di topologia come dicevi bene tu
Non è tanto una questione di cardinalità dell'insieme di cui si fa la caratteristica, conta l'insieme dei punti di discontinuità, la funzione di Dirichlet è discontinua dappertutto, la caratteristica dell'insieme di Cantor solo nel'insieme di Cantor che è "piccolo" in un certo senso (nel senso della misura di Lebesgue). Comunque questi problemi sono generati dal lavorare con l'integrale secondo Riemann, vengono invece trattati meglio conl'integrale di Lebesgue.
Ultima domandina:
In tutti e 3 i casi:
- funzione di Dirichlet
- funzione di Thomae
- funzione caratteristica dell'insieme di Cantor
i punti di discontinuità sono sempre di 2a specie, giusto?
Cioè siamo sempre nel caso in cui non esiste il limite ... ;
non è per salto o per eliminabilità. Giusto?
Nel caso della funzione di Thomae il limite esiste sempre e fa $0$, quindi sono discontinuità eliminabili, nel caso della funzione caratteristica dell'insieme di Cantor è curioso, perchè almeno uno tra il limite sinistro e quello destro esistono sempre, e fa $0$, mentre l'altro no. Quindi è giusto, così come per la funzione di Dirichlet.
Dunque @otta96 un attimo:
- per la funzione di Dirichlet
non ci sono dubbi: tutti i punti del dominio sono di discontinuità di 2a specie, non esistendo il limite (per gli sbalzi "all'impazzata" da 0 a 1)
- per la funzione di Thomae:
è discontinua solo sui razionali;
vediamo che accade fissato un razionale x=p/q (scrittura del razionale in forma ridotta):
è vero che posso trovare una successione di irrazionali, che tende ad x e quindi la successione delle immagini è costantemente 0 e quindi ha limite 0;
ma è anche vero (almeno pensavo) che se fisso un epsilon < 1/q, per quanto si scelga un intorno piccolo di x con semilarghezza delta, troverò sempre lì dentro un razionale con immagine maggiore di epsilon.
Invece, mi sembra che hai ragione tu. Del resto, anche ad occhio, vedendo il grafico della funzione, ad ogni punto corrispondente ad un'acissa razionale, i punti corrispondenti ad ascisse razionali sulla destra o sulla sinistra
scendono verso lo zero, man mano che si tende a x (si veda l'immagine ritoccata del pdf qui sotto)
[img]https://drive.google.com/file/d/1Ws_VQFUC6_llGfxZrKvTSB47kSKW3KXJ/view?usp=sharing[/img]
A questo punto a fine di pagina 2 del pdf qui sotto è sbagliato quando si dice che la discontinuità è di 2a specie.
https://www.uniba.it/it/docenti/attalienti-antonio/attivita-didattica/materiale-didattico/FunzionediThomaeeTeoremadiDarboux.pdf
- la funzione caratteristica dell'insieme di Cantor
è discontinua solo nei punti dell'insieme di Cantor.
Non avevo considerato il diverso comportamento che dici tra limite destro e limite sinistro! E' curioso! Dovrei studiarlo meglio. Ma per me è anche curioso che quello dei due che esiste sia 0 (cioè non hanno impatto su quel limite i punti di cantor vicini che hanno immagine 1 !!)
- per la funzione di Dirichlet
non ci sono dubbi: tutti i punti del dominio sono di discontinuità di 2a specie, non esistendo il limite (per gli sbalzi "all'impazzata" da 0 a 1)
- per la funzione di Thomae:
è discontinua solo sui razionali;
vediamo che accade fissato un razionale x=p/q (scrittura del razionale in forma ridotta):
è vero che posso trovare una successione di irrazionali, che tende ad x e quindi la successione delle immagini è costantemente 0 e quindi ha limite 0;
ma è anche vero (almeno pensavo) che se fisso un epsilon < 1/q, per quanto si scelga un intorno piccolo di x con semilarghezza delta, troverò sempre lì dentro un razionale con immagine maggiore di epsilon.
Invece, mi sembra che hai ragione tu. Del resto, anche ad occhio, vedendo il grafico della funzione, ad ogni punto corrispondente ad un'acissa razionale, i punti corrispondenti ad ascisse razionali sulla destra o sulla sinistra
scendono verso lo zero, man mano che si tende a x (si veda l'immagine ritoccata del pdf qui sotto)
[img]https://drive.google.com/file/d/1Ws_VQFUC6_llGfxZrKvTSB47kSKW3KXJ/view?usp=sharing[/img]
A questo punto a fine di pagina 2 del pdf qui sotto è sbagliato quando si dice che la discontinuità è di 2a specie.
https://www.uniba.it/it/docenti/attalienti-antonio/attivita-didattica/materiale-didattico/FunzionediThomaeeTeoremadiDarboux.pdf
- la funzione caratteristica dell'insieme di Cantor
è discontinua solo nei punti dell'insieme di Cantor.
Non avevo considerato il diverso comportamento che dici tra limite destro e limite sinistro! E' curioso! Dovrei studiarlo meglio. Ma per me è anche curioso che quello dei due che esiste sia 0 (cioè non hanno impatto su quel limite i punti di cantor vicini che hanno immagine 1 !!)
Chiedo scusa
ecco l'immagine (adesso ho usato imageshack.com )
[img]https://imageshack.com/i/po5wajidp[/img]
ecco l'immagine (adesso ho usato imageshack.com )
[img]https://imageshack.com/i/po5wajidp[/img]
L'idea è che meglio vuoi approssimare una numero qualsiasi con un razionale (diverso eventualmente dal numero stesso), più grande dovrai prendere (il numeratore e) il denominatore, facendo si che il limite in ogni punto sia $0$. Per Cantor il punto è che essendo un insieme chiuso, il complementare è aperto e questo fa si che sia sempre lo $0$ ad esistere come limite tra i due.
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