Funzioni lipsichitziane e un. continue

[Vsc1]

Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio:
$f(x)=x^2+tanx$ devo dimostrare che questa funzione è lipsichitziana in $(0,pi/4)$
ho verificato che la derivata è limitata in questo intervallo e fin qui tutto ok.
Poi mi chiede di determinare un $L$ tale che sia vero che $|f(x)-f(y)|<=L|x-y|$
so che questo $L$ deve esistere ma non so come trovarlo.
Dato che ci sono volevo chiedervi perchè una funzione lipsichitziana è un.continua ma non è vero il viceversa e
se ha senso dire che una funzione è un.continua in un intervallo del tipo $(a,oo)$.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie

[Rigel1]

"Vsc":Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio:
$f(x)=x^2+tanx$ devo dimostrare che questa funzione è lipsichitziana in $(0,pi/4)$
ho verificato che la derivata è limitata in questo intervallo e fin qui tutto ok.
Poi mi chiede di determinare un $L$ tale che sia vero che $|f(x)-f(y)|<=L|x-y|$
so che questo $L$ deve esistere ma non so come trovarlo.

Calcola l'estremo superiore di \(|f'|\) nell'intervallo in questione.

Dato che ci sono volevo chiedervi perchè una funzione lipsichitziana è un.continua ma non è vero il viceversa e
se ha senso dire che una funzione è un.continua in un intervallo del tipo $(a,oo)$.

La funzione \(f(x) = \sqrt{x}\), \(x\in [0,1]\), è uniformemente continua (per il teor. di Heine-Cantor), ma non è Lipschitziana.
Ha senso parlare di funzioni uniformemente continue in qualsiasi insieme.

[Vsc1]

Quello di calcolare l'estremo superiore è un metodo valido per tutte le funzioni o solo in questo caso?

[Rigel1]

Va bene per le funzioni differenziabili.

[Vsc1]

Un'ultima cosa la funzione $f(x)=sqrt(x)$ è un.continua in $[0,1]$ per il teorema di Heine-Cantor, invece in $[0,oo)$?

[Rigel1]

E' unif. cont. anche su \([0,+\infty)\): infatti è u.c. sia su \([0,1]\) (per Heine-Cantor) che su \([1,+\infty)\) (in quanto Lipschitziana), dunque lo è anche su \([0,+\infty)\).

[Vsc1]

ok grazie mille