Funzioni Lipschtiziane
Quando una funzione è Lipschitziana ? Esempi di tali funzioni ?? Grazieeeeeeeeeee
Risposte
( http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_lipschitziana )
il seno è una funzione lipschitziana. ( Per curiosità: la sua uniforme continuità si dimostra sfruttando tale sua proprietà e non per il teorema di cantor. )
il seno è una funzione lipschitziana. ( Per curiosità: la sua uniforme continuità si dimostra sfruttando tale sua proprietà e non per il teorema di cantor. )
Alla domanda quando una funzione è Lipschtiziana ti rispondo distinguendo due casi particolari ma comuni negli esercizi.
Se la funzione è definita in un insieme compatto del tipo: [tex]I \times J[/tex] dove [tex]I = [x_0-a , x_0+a][/tex] e [tex]J = [y_0-b , y_0+b][/tex] ; con [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] [tex]\in R[/tex]; allora si dice che la funzione è Lipschtiziana se è continua con derivate parziali rispetto a [tex]y[/tex]continue in [tex]I \times J[/tex].
E' piuttosto banale dimostrarlo.
Se, invece, la funzione è definita in una striscia, ad esempio : [tex][a,b] \times R[/tex]; allora si dice che la funzione è Lipschtiziana se è continua, con derivate parziali rispetto a [tex]y[/tex] continue e limitate nella striscia.
La definizione generale dovresti saperla.
Se la funzione è definita in un insieme compatto del tipo: [tex]I \times J[/tex] dove [tex]I = [x_0-a , x_0+a][/tex] e [tex]J = [y_0-b , y_0+b][/tex] ; con [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] [tex]\in R[/tex]; allora si dice che la funzione è Lipschtiziana se è continua con derivate parziali rispetto a [tex]y[/tex]continue in [tex]I \times J[/tex].
E' piuttosto banale dimostrarlo.
Se, invece, la funzione è definita in una striscia, ad esempio : [tex][a,b] \times R[/tex]; allora si dice che la funzione è Lipschtiziana se è continua, con derivate parziali rispetto a [tex]y[/tex] continue e limitate nella striscia.
La definizione generale dovresti saperla.
Un appunto sul linguaggio. Si vede che sai di cosa stai parlando ma se ti esprimi così lasci qualche dubbio:
Comunque può essere che pitrineddu non voglia esempi con questo livello di complessità. In questo caso consiglio (lo so - per la 100-esima volta ormai
), la pagina sulla continuità uniforme di batmath.it per farsi un'idea generale. Anche una ricerca sul forum non guasta.
"Mathcrazy":Non "si dice", "si dimostra": se scrivi così sembra che questa sia la definizione.
Alla domanda quando una funzione è Lipschtiziana ti rispondo distinguendo due casi particolari ma comuni negli esercizi.
Se la funzione è definita in un insieme compatto del tipo: [tex]I \times J[/tex] dove [tex]I = [x_0-a , x_0+a][/tex] e [tex]J = [y_0-b , y_0+b][/tex] ; con [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] [tex]\in R[/tex]; allora si dice che la funzione è Lipschtiziana se è continua con derivate parziali rispetto a [tex]y[/tex]continue in [tex]I \times J[/tex].
Se, invece, la funzione è definita in una striscia, ad esempio : [tex][a,b] \times R[/tex]; allora si dice che la funzione è Lipschtiziana se è continua, con derivate parziali rispetto a [tex]y[/tex] continue e limitate nella striscia.Idem.
Comunque può essere che pitrineddu non voglia esempi con questo livello di complessità. In questo caso consiglio (lo so - per la 100-esima volta ormai
), la pagina sulla continuità uniforme di batmath.it per farsi un'idea generale. Anche una ricerca sul forum non guasta.
A quanto ne ho capito una funzione è Lipschitziana se viene verificata la seguente condizione :
[f(x)-f(y)]<=L[x-y]
le parentesi quadre stanno per il modulo.
Quindi la "difficoltà" sta nel trovare solamente il coefficiente L o c'è altro ??
[f(x)-f(y)]<=L[x-y]
le parentesi quadre stanno per il modulo.
Quindi la "difficoltà" sta nel trovare solamente il coefficiente L o c'è altro ??
"dissonance":Non "si dice", "si dimostra": se scrivi così sembra che questa sia la definizione.
Un appunto sul linguaggio. Si vede che sai di cosa stai parlando ma se ti esprimi così lasci qualche dubbio:[quote="Mathcrazy"]Alla domanda quando una funzione è Lipschtiziana ti rispondo distinguendo due casi particolari ma comuni negli esercizi.
Se la funzione è definita in un insieme compatto del tipo: [tex]I \times J[/tex] dove [tex]I = [x_0-a , x_0+a][/tex] e [tex]J = [y_0-b , y_0+b][/tex] ; con [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] [tex]\in R[/tex]; allora si dice che la funzione è Lipschtiziana se è continua con derivate parziali rispetto a [tex]y[/tex]continue in [tex]I \times J[/tex].
Se, invece, la funzione è definita in una striscia, ad esempio : [tex][a,b] \times R[/tex]; allora si dice che la funzione è Lipschtiziana se è continua, con derivate parziali rispetto a [tex]y[/tex] continue e limitate nella striscia.Idem.
Comunque può essere che pitrineddu non voglia esempi con questo livello di complessità. In questo caso consiglio (lo so - per la 100-esima volta ormai
), la pagina sulla continuità uniforme di batmath.it per farsi un'idea generale. Anche una ricerca sul forum non guasta.[/quote]Hai ragione dissonance. Infatti dopo ho precisato che si dimostra!
Però era per dare un approccio più pratico alla definizione, cioè per far capire quando può tranquillamente concludere che una funzione è Lipschtiziana,quando se la trova davanti.
..ma effettivamente può trarre in inganno !!"pitrineddu90":
A quanto ne ho capito una funzione è Lipschitziana se viene verificata la seguente condizione :
[f(x)-f(y)]<=L[x-y]
le parentesi quadre stanno per il modulo.
Quindi la "difficoltà" sta nel trovare solamente il coefficiente L o c'è altro ??
Si per definizione di funzione Lipschtiziana, dovresti trovare una costante [tex]L[/tex] che verifica quella condizione.
Cioè, detto molto alla buona, il rapporto tra la differenza delle ordinate e delle corrispondenti ascisse (in modulo) della funzione non deve superare [tex]L[/tex].
tuttavia per sfuggire all'applicazione della definizione ci sono delle condizioni che ci permettono da subito di stabilire se una funzione verifica tale condizione o meno.
Condizioni tipo che la derivata prima deve essere una funzione limitata ? E poi quanto vale questo coefficiente L ?
Dipende da funzione a funzione... Se è lipschitziana esiste un $L$, qualsiasi valore finito abbia.
Es: Seno ha L = 1.
Es: Seno ha L = 1.
Io penso che sia più facile interpretare la condizione di Lipschitz in termini di rapporti incrementali. Prendiamo per semplicità una funzione [tex]f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] ma questo concetto si estende ad ambiti MOLTO più generali.
[tex]f[/tex] è Lipschitziana con costante [tex]L\ge 0[/tex] se e solo se
[tex]\forall x,\ x_0\in \mathbb{R}[/tex] risulta che [tex]\lvert f(x)-f(x_0) \rvert \le L\lvert x-x_0\rvert[/tex], ovvero, equivalentemente,
[tex]\dfrac{\lvert f(x)-f(x_0)\rvert}{\lvert x-x_0\rvert}\le L[/tex]
cioè [tex]f[/tex] ha i rapporti incrementali limitati e [tex]L[/tex] è una possibile stima superiore. Passando al limite per [tex]x\to x_0[/tex], se la funzione è derivabile si ottiene che [tex]L[/tex] è una stima superiore anche per [tex]\lvert f'(x_0) \rvert[/tex]; viceversa se [tex]f'[/tex] è limitata da una costante [tex]L[/tex] allora applicando il teorema di Lagrange si può vedere che [tex]L[/tex] è una stima superiore anche per i rapporti incrementali e quindi [tex]L[/tex] è una costante di Lipschitz.
Con ragionamenti analoghi a questo si possono dimostrare i risultati citati da Mathcrazy e anche altri sulla stessa lunghezza d'onda.
Una interpretazione intuitiva carina del concetto di funzione Lipschitziana nel caso [tex]\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] si trova nella pagina di Wikipedia.
[tex]f[/tex] è Lipschitziana con costante [tex]L\ge 0[/tex] se e solo se
[tex]\forall x,\ x_0\in \mathbb{R}[/tex] risulta che [tex]\lvert f(x)-f(x_0) \rvert \le L\lvert x-x_0\rvert[/tex], ovvero, equivalentemente,
[tex]\dfrac{\lvert f(x)-f(x_0)\rvert}{\lvert x-x_0\rvert}\le L[/tex]
cioè [tex]f[/tex] ha i rapporti incrementali limitati e [tex]L[/tex] è una possibile stima superiore. Passando al limite per [tex]x\to x_0[/tex], se la funzione è derivabile si ottiene che [tex]L[/tex] è una stima superiore anche per [tex]\lvert f'(x_0) \rvert[/tex]; viceversa se [tex]f'[/tex] è limitata da una costante [tex]L[/tex] allora applicando il teorema di Lagrange si può vedere che [tex]L[/tex] è una stima superiore anche per i rapporti incrementali e quindi [tex]L[/tex] è una costante di Lipschitz.
Con ragionamenti analoghi a questo si possono dimostrare i risultati citati da Mathcrazy e anche altri sulla stessa lunghezza d'onda.
Una interpretazione intuitiva carina del concetto di funzione Lipschitziana nel caso [tex]\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] si trova nella pagina di Wikipedia.
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