Funzioni lipschitziane
non capisco la differenza tra due proposizioni riguardanti le f lipschitz:
1) f derivabile, con derivata limitata, allora f è lipschitziana
2) f di classe C1, allora f è localmente lipschitz
la definizione di derivabilità (restiamo pure in una variabile) afferma che se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale, allora quello è proprio la derivata. quindi se il limite è infinito in un punto, la funzione non è derivabile. allora perchè c'è la necessità di aggiungere "con derivata limitata" nella prima proposizione? inoltre, se f è C1 significa che la derivata esiste ed è continua (cioè è anche limitata), dunque f è anche lipschitziana, giusto?
a me più che altro importa capire la differenza tra l'essere lipschitz e localmente lipschitz: mi pare che la differenza interessi la frontiera dell'insieme di definizione, qualcuno può delucidarmi in merito?
1) f derivabile, con derivata limitata, allora f è lipschitziana
2) f di classe C1, allora f è localmente lipschitz
la definizione di derivabilità (restiamo pure in una variabile) afferma che se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale, allora quello è proprio la derivata. quindi se il limite è infinito in un punto, la funzione non è derivabile. allora perchè c'è la necessità di aggiungere "con derivata limitata" nella prima proposizione? inoltre, se f è C1 significa che la derivata esiste ed è continua (cioè è anche limitata), dunque f è anche lipschitziana, giusto?
a me più che altro importa capire la differenza tra l'essere lipschitz e localmente lipschitz: mi pare che la differenza interessi la frontiera dell'insieme di definizione, qualcuno può delucidarmi in merito?
Risposte
La funzione $f(x) = x^2$, $x\in \mathbb{R}$, è derivabile ma la sua derivata non è limitata (in $\mathbb{R}$); "limitata" non significa "finita in ogni punto".
Tale funzione è localmente Lipschitziana ma non Lipschitziana su tutto $\mathbb{R}$.
Tale funzione è localmente Lipschitziana ma non Lipschitziana su tutto $\mathbb{R}$.
allora cosa significa più precisamente "limitata"?
"enr87":
allora cosa significa più precisamente "limitata"?
$f: A subseteq RR to RR$ si dice limitata se esiste $M>0$ t.c. $|f(x)|
dimmi se ho capito: questo significa che per ogni punto "finito" in cui mi calcolo la derivata, posso sempre trovare un limite superiore della derivata stessa? cioè non devo far tendere x a infinito, ma calcolare la derivata in un punto (grande a piacere) e vedere se è o meno finita..?
Ma guarda, secondo me la questione è molto semplice, sono sicuro che ti stai perdendo in un bicchier d'acqua, stai tranquillo.
Prendi la funzione $f: RR to RR$, definita da $y=x$ (insomma roba che di più semplice non si può
). Dove è definita? Be', non ci sono dubbi: su tutto $RR$. E' ivi limitata? Be', non mi pare proprio
Prendi adesso la funzione $sinx$: è definita su tutto $RR$ ed è pure limitata perchè $|sinx|<=1$, per ogni $x$ reale.
Naturalmente, è tutta questione di domini: se prendi $y=x$ definita su un $[a,b] subseteq RR$ è ovviamente limitata.
Adesso, veniamo al problema della lipschitzianità: prendi una funzione derivabile. Ne calcoli la derivata: è limitata? Bene, $f(x)$ è Lispchitz e il sup di $|f'(x)|$ è una costante di Lipschitz buona. $f'(x)$ non è limitata? Allora $f$ non è Lipschitz.
Esempi: $y=x^2$ su $RR$, non è Lip (come già stato fatto notare). $y=sinx$, invece, è Lipschitziana su tutto l'asse reale.
Nella speranza di essere stato chiaro e utile
Prendi la funzione $f: RR to RR$, definita da $y=x$ (insomma roba che di più semplice non si può
). Dove è definita? Be', non ci sono dubbi: su tutto $RR$. E' ivi limitata? Be', non mi pare proprio Prendi adesso la funzione $sinx$: è definita su tutto $RR$ ed è pure limitata perchè $|sinx|<=1$, per ogni $x$ reale.
Naturalmente, è tutta questione di domini: se prendi $y=x$ definita su un $[a,b] subseteq RR$ è ovviamente limitata.
Adesso, veniamo al problema della lipschitzianità: prendi una funzione derivabile. Ne calcoli la derivata: è limitata? Bene, $f(x)$ è Lispchitz e il sup di $|f'(x)|$ è una costante di Lipschitz buona. $f'(x)$ non è limitata? Allora $f$ non è Lipschitz.
Esempi: $y=x^2$ su $RR$, non è Lip (come già stato fatto notare). $y=sinx$, invece, è Lipschitziana su tutto l'asse reale.
Nella speranza di essere stato chiaro e utile
ahhhh! era una cavolata! sto sclerando scusami!
però hai detto una cosa: derivata non limitata => f non lipschitz: allora l'implicazione derivata limitata => f lipschitz vale anche al contrario se considero punti di derivabilità per f? mi pare che su un topic su cui sono intervenuto prima se ne sia parlato, ma volevo comunque una conferma. grazie mille sia a te che a Rigel
però hai detto una cosa: derivata non limitata => f non lipschitz: allora l'implicazione derivata limitata => f lipschitz vale anche al contrario se considero punti di derivabilità per f? mi pare che su un topic su cui sono intervenuto prima se ne sia parlato, ma volevo comunque una conferma. grazie mille sia a te che a Rigel
Sì, confermo quanto ho detto sopra.
Dire che una funzione è Lipschitz equivale a dire che i suoi rapporti incrementali sono limitati. Quindi, se $f$ è derivabile in un intervallo, $f$ è Lipschitz se e soltanto se la derivata prima è limitata.
Comunque, prego, è un piacere, figurati.
Dire che una funzione è Lipschitz equivale a dire che i suoi rapporti incrementali sono limitati. Quindi, se $f$ è derivabile in un intervallo, $f$ è Lipschitz se e soltanto se la derivata prima è limitata.
Comunque, prego, è un piacere, figurati.
perfetto, ti ringrazio ancora!
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