Funzioni lipschitziane
ho visto che se una funzione ha derivata limitata allora è lipschitziana, ma perchè non vale anche l'implicazione contraria? una funzione $f: Omega to RR$ è lipschitziana se $forall x, y in Omega$ si ha $|f(y) - f(x)| <= L|y - x|$. allora, perchè lipschitzianità => derivata limitata, basterebbe assumere che f sia derivabile?
Risposte
Considerando il valore assoluto si ha che esso è una funzione lipschitziana ma non derivabile in 0! Ti Basta come esempio di funzione lipschitziana in $0$ ma ivi non derivabile?!
Lipschitzianità implica rapporti incrementali limitati. Si può altresì dimostrare (teorema di Rademacher) che una funzione lipschitziana è differenziabile quasi ovunque (misura di Lebesgue), quindi i punti di non differenziabilità di una funzione lipschitziana non possono essere "troppi".
@j18eos: prendendo $f(x) = |x|$ avrei $| |x_2| - |x_1| | <= L |x_2 - x_1|$. come fai a far vedere che è lipschitziana nel caso in cui $|x_1| = -x_1$ e $|x_2| = x_2$? (comunque avevo supposto f derivabile se guardi sopra. quindi la risposta alla mia domanda è sì..?)
@luca.lussardi: ma rapporti incrementali limitati implica limite di un rapporto incrementale (derivata) limitato?
@luca.lussardi: ma rapporti incrementali limitati implica limite di un rapporto incrementale (derivata) limitato?
$||x_2|-|x_1||\leq |x_2-x_1|$ per ogni $x_1,x_2 $ (è la disuguaglianza triangolare), quindi $x \to |x|$ è Lipschitz.
Rapporti incrementali limitati al massimo ti dice che il limsup è finito, ma il limite, cioè la derivata, potrebbe non esistere, proprio come $|x|$ in $0$.
Rapporti incrementali limitati al massimo ti dice che il limsup è finito, ma il limite, cioè la derivata, potrebbe non esistere, proprio come $|x|$ in $0$.
Basta prendere [tex]$L=1$[/tex].
Eccoti la dimostrazione: [tex]$\forall a;b\in\mathbb{R},\,|a|=|a-b+b|\leq|a-b|+|b|$[/tex] da cui: [tex]$|a-b|\geq|a|-|b|$[/tex]. Analogamente si ha che [tex]$|a-b|=|b-a|\geq|b|-|a|$[/tex], potendo definirsi [tex]$||a|-|b||=MAX\{|b|-|a|;|a|-|b|\}$[/tex] è [tex]$|a-b|\geq||a|-|b||\, Q.E.D.$[/tex]
Eccoti la dimostrazione: [tex]$\forall a;b\in\mathbb{R},\,|a|=|a-b+b|\leq|a-b|+|b|$[/tex] da cui: [tex]$|a-b|\geq|a|-|b|$[/tex]. Analogamente si ha che [tex]$|a-b|=|b-a|\geq|b|-|a|$[/tex], potendo definirsi [tex]$||a|-|b||=MAX\{|b|-|a|;|a|-|b|\}$[/tex] è [tex]$|a-b|\geq||a|-|b||\, Q.E.D.$[/tex]
"Luca.Lussardi":
$||x_2|-|x_1||\leq |x_2-x_1|$ per ogni $x_1,x_2 $ (è la disuguaglianza triangolare), quindi $x \to |x|$ è Lipschitz.
ah è vero, non mi ero proprio accorto!
ok anche per il resto, quindi se assumo che una f è derivabile e lipschitziana, allora posso dedurre che la derivata è limitata. giusto?
Esatto!
ok perfetto, vi ringrazio. spero che non andiate tutti in ferie nei prossimi giorni..
Io parto dopodomani 
Ci rivediamo il 20! 
Ci rivediamo il 20!
sei ormai prossimo.. allora buone vacanze
Grazie, mi ci vogliono proprio!
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