Funzioni lipschitziane (2)
devo dimostrare che una funzione vettoriale f definita su un aperto $Omega$ è localmente lipschitziana (cioè lipschitziana su ogni compatto contenuto in $Omega$) se è C1.
nella dimostrazione che ho, si dice che è sufficiente provare che la componente $f_j$ è lipschitziana in ogni compatto $ K subset Omega$ che sia una palla chiusa. ma perchè non è restrittivo assumere K una palla chiusa?
io ho pensato che se $Omega$ fosse un quadrato senza il bordo, allora non potrei mai arrivare a considerare due punti "vicini" rispettivamente a due diversi vertici del quadrato, dunque in questo senso sarei limitato. cosa sbaglio?
nella dimostrazione che ho, si dice che è sufficiente provare che la componente $f_j$ è lipschitziana in ogni compatto $ K subset Omega$ che sia una palla chiusa. ma perchè non è restrittivo assumere K una palla chiusa?
io ho pensato che se $Omega$ fosse un quadrato senza il bordo, allora non potrei mai arrivare a considerare due punti "vicini" rispettivamente a due diversi vertici del quadrato, dunque in questo senso sarei limitato. cosa sbaglio?
Risposte
E' la compattezza di $\Omega$: per ogni ricoprimento fatto da palle aperte ne estrai uno finito.
non ho capito molto e non so cosa sia un ricoprimento. andiamo per passi sennò mi perdo: prima di tutto, a patto che sia chiaro cosa volessi dire, la mia osservazione sopra è corretta o no? in particolare, intendevo dire che se considero solamente palle non prendo tutte le possibili coppie di punti $x$ e $y \in Omega$ dentro ad esse (ad esempio, se x e y sono due punti che stanno vicini rispettivamente ad A e C nel quadrato di vertici ABCD, come faccio a metterli nella stessa palla?). dunque non riesco a capire l'equivalenza tra lipschitzianità in ogni $B_delta subset Omega$ e lipschitzianità in ogni compatto $K subset Omega$.
qualche aiuto?
Ogni compatto è ricoperto da un'unione finita di palle, quindi se provi l'asserto sulle palle hai la conclusione su ogni compatto.
ma non c'è qualcosa di strano? se io provo l'asserto su ogni palla, non lo provo anche sulla loro unione. non riesco a capire questo passaggio.
Prendi come costante di Lipschtiz il massimo tra le costanti trovate sulle palle.
cioè, detti $x in B^1$ e $y in B^2$ due punti di due palle la cui unione è disgiunta (questa è una condizione che ho aggiunto io), dovrebbe valere $||f(y) - f(x)|| <= L_{max}||y - x||$? se così fosse non saprei giustificare questa cosa.. perchè funziona con $L_{max}$?
[editI] non so se può tornare utile, ma non studio matematica
[editII] $B^1$ e $B^2$ indicano semplicemente due palle distinte
[editI] non so se può tornare utile, ma non studio matematica
[editII] $B^1$ e $B^2$ indicano semplicemente due palle distinte
riesumo il topic, se qualcuno volesse darmi una mano
ok premetto prendete con le pinze quello che scrivo.. non so se la dimostrazione è giusta e potrei aver fatto mille errori, dunque...
$f:\Omega sube RR^n -> RR^m $ prendiamo come suggerito il problema ristretto a una sola delle variabili e nel caso semplice sia a valori reali non vettoriali
a questo punto prendiamo un compatto qualsiasi C contenuto in $\Omega$ so che f' è continua prendo $f':C->RR$ f' contuna e C compatto ==> è limitata, chiamo L la costante reale tale che $|f'(x)|<=L$ per ogni x appartenente a C
prendiamo ora $U = min (I sube \Omega : C sube I)$ I intervallo per ogni x e y appartenente a C prendo l'intervallo incluso in U avente come estremi [x,y] per il teorema di Lagrange f è continua e derivabile in quell'intervallo quindi esiste uno $\csi : f'(\csi)(||x-y||)=f(x)-f(y)$ segue che ${||f(x)-f(y)||}/{||x-y||}=|f'(\csi)|<=L$ da cui segue la tesi
$f:\Omega sube RR^n -> RR^m $ prendiamo come suggerito il problema ristretto a una sola delle variabili e nel caso semplice sia a valori reali non vettoriali
a questo punto prendiamo un compatto qualsiasi C contenuto in $\Omega$ so che f' è continua prendo $f':C->RR$ f' contuna e C compatto ==> è limitata, chiamo L la costante reale tale che $|f'(x)|<=L$ per ogni x appartenente a C
prendiamo ora $U = min (I sube \Omega : C sube I)$ I intervallo per ogni x e y appartenente a C prendo l'intervallo incluso in U avente come estremi [x,y] per il teorema di Lagrange f è continua e derivabile in quell'intervallo quindi esiste uno $\csi : f'(\csi)(||x-y||)=f(x)-f(y)$ segue che ${||f(x)-f(y)||}/{||x-y||}=|f'(\csi)|<=L$ da cui segue la tesi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo