Funzioni linearmente dipendenti
In un testo di calcolo differenziale ed integrale che stò leggendo ho trovato un esempio descritto come di seguito.
Sono date le tre funzioni y1= e^x , y2= e^2x , y3= 3e^x , le quali sono linearmente dipendenti perchè, dice l'esempio, ha luogo per C1=1 ,C2=0 , C3=-1/3 , l'identità:
C1e^x+C2e^2x+ 3C3e^x=0 ( i numeri 1,2,3 dopo la lettra C sono pedici)
Vorrei sapere come è possibile determinare la dipendenza lineare delle funzioni y1,y2,y3 ( non sono riuscito a trovare nessuna funzione il cui rapporto dà un numero costante ) e come sono state determinate le costanti C1 ,C2 , C3.
Grazie
Ferruccio
Sono date le tre funzioni y1= e^x , y2= e^2x , y3= 3e^x , le quali sono linearmente dipendenti perchè, dice l'esempio, ha luogo per C1=1 ,C2=0 , C3=-1/3 , l'identità:
C1e^x+C2e^2x+ 3C3e^x=0 ( i numeri 1,2,3 dopo la lettra C sono pedici)
Vorrei sapere come è possibile determinare la dipendenza lineare delle funzioni y1,y2,y3 ( non sono riuscito a trovare nessuna funzione il cui rapporto dà un numero costante ) e come sono state determinate le costanti C1 ,C2 , C3.
Grazie
Ferruccio
Risposte
Un modo per dimostrare la lineare dipendenza è quella di usare l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, in alternativa per dimostrare che le funzioni non sono ortogonali è sufficiente calcolare l'integrale del prodotto delle funzioni (a due a due) esteso al dominio di definizione, e verificare che il risultato è diverso da zero. Ora non ho tempo di fare i calcoli, ma puoi verificare tu stesso.
Quello che ho scritto prima vale in generale, in questo caso banale puoi fare la sostituzione $ e^x = t $ ed effettivamente notare che deve essere $ C_1 = 1, C_2 = 0, C_3 = -1/3 $
Se ( dei vettori ) o delle funzioni sono linearmente dipendenti allora esiste una loro combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli che dà ( il vettore nullo) la funzione identicamente nulla.
In tal caso infatti ( coefficienti non tutti nulli ) puoi esprimere una funzione come combinazione lineare delle altre.
Sono invece linearmenti indipendenti ( vettori o funzioni ) se l'unica loro combinazione lineare che dà ( il vettore nullo o la funzione nulla) è quella con coefficienti tutti nulli. E' chiaro che in questo caso non si può esprimere nessun vettore come combinazione lineare degli altri , che infatti si dicono linearmante indipendenti.
Nel caso dell'esercizio scrivo la combinazione lineare delle tre funzioni e la eguaglio alla funzione nulla , cioè a 0.
Vedo per quali valori delle costanti è verificata l'uguaglianza:
$c_1*e^x +c_2*e^(2x)+3*c_3*e^x = 0$ da cui :
$(c_1+3c_3)e^x +c_2e^2x = 0 $
Perchè sia verificata per ogni valore di x bisogna sia :
$c_1 = - 3c_3 $ e $c_2 = 0$.
Ad esempio quindi :$ c_1 = 1 , c_3 = -1/3 , c_2 = 0 $
I coefficienti non sono tutti nulli e quindi le funzioni sono linearmente dipendenti.
D'altra parte le funzioni $ e^x , 2e^x$ sono tra loro linearmente dipendenti.
Infatti : $c_1*e^x +c_2*2*e^x = 0 $ ha come soluzione $ c_1 = -2c_2 $ e quidni ad esempio $ c_2 = 1 , c_1 = -2 $ diversi da 0.
Se consideri invece solo le funzioni : $ e^x, e^(2x) $ sono tra loro linearmente indipendenti .
Infatti :
$ c_1*e^x +c_2 *e^(2x) = 0 $
che è identicamente vera solo per $c_1 = c_2= 0$ e quindi sono linearmente indipendenti.
Linearmente indipendenti tra loro sono ad esempio anche le funzioni $sin x , cos x $ .
In tal caso infatti ( coefficienti non tutti nulli ) puoi esprimere una funzione come combinazione lineare delle altre.
Sono invece linearmenti indipendenti ( vettori o funzioni ) se l'unica loro combinazione lineare che dà ( il vettore nullo o la funzione nulla) è quella con coefficienti tutti nulli. E' chiaro che in questo caso non si può esprimere nessun vettore come combinazione lineare degli altri , che infatti si dicono linearmante indipendenti.
Nel caso dell'esercizio scrivo la combinazione lineare delle tre funzioni e la eguaglio alla funzione nulla , cioè a 0.
Vedo per quali valori delle costanti è verificata l'uguaglianza:
$c_1*e^x +c_2*e^(2x)+3*c_3*e^x = 0$ da cui :
$(c_1+3c_3)e^x +c_2e^2x = 0 $
Perchè sia verificata per ogni valore di x bisogna sia :
$c_1 = - 3c_3 $ e $c_2 = 0$.
Ad esempio quindi :$ c_1 = 1 , c_3 = -1/3 , c_2 = 0 $
I coefficienti non sono tutti nulli e quindi le funzioni sono linearmente dipendenti.
D'altra parte le funzioni $ e^x , 2e^x$ sono tra loro linearmente dipendenti.
Infatti : $c_1*e^x +c_2*2*e^x = 0 $ ha come soluzione $ c_1 = -2c_2 $ e quidni ad esempio $ c_2 = 1 , c_1 = -2 $ diversi da 0.
Se consideri invece solo le funzioni : $ e^x, e^(2x) $ sono tra loro linearmente indipendenti .
Infatti :
$ c_1*e^x +c_2 *e^(2x) = 0 $
che è identicamente vera solo per $c_1 = c_2= 0$ e quindi sono linearmente indipendenti.
Linearmente indipendenti tra loro sono ad esempio anche le funzioni $sin x , cos x $ .
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