Funzioni lineari VS y=mx+q
La domanda di oggi è la seguente:
Come si fa a dimostrare (ammesso che sia vero) che l'unica funzione lineare \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) è proprio la funzione definita da \( f(x) = mx \)?
Mi spiego meglio.
Per definizione, una funzione di \( \mathbb{K} \)-spazi vettoriali \( V \) e \( W \) (cioè una funzione \( f : V \rightarrow W \)) si dice lineare se e solo se
\[ f\, (a_1 v_1 + \dots + a_n v_n) = \sum_{i=1}^n a_i\, f\, (v_i) \]
dove \( a_i \in \mathbb{K} \) e \( v_i \in V \).
Se \( V = W = \mathbb{R} \), in Analisi si chiama funzione lineare la funzione \( f \) definita da
\[ f(x) = mx \]
con \( m \in \mathbb{R} \).
Sul fatto che sia lineare non ci sono dubbi, ma come si fa a far vedere che se una funzione \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) è lineare, allora è proprio la funzione definita da \( f(x) = mx \)?
Come si fa a dimostrare (ammesso che sia vero) che l'unica funzione lineare \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) è proprio la funzione definita da \( f(x) = mx \)?
Mi spiego meglio.
Per definizione, una funzione di \( \mathbb{K} \)-spazi vettoriali \( V \) e \( W \) (cioè una funzione \( f : V \rightarrow W \)) si dice lineare se e solo se
\[ f\, (a_1 v_1 + \dots + a_n v_n) = \sum_{i=1}^n a_i\, f\, (v_i) \]
dove \( a_i \in \mathbb{K} \) e \( v_i \in V \).
Se \( V = W = \mathbb{R} \), in Analisi si chiama funzione lineare la funzione \( f \) definita da
\[ f(x) = mx \]
con \( m \in \mathbb{R} \).
Sul fatto che sia lineare non ci sono dubbi, ma come si fa a far vedere che se una funzione \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) è lineare, allora è proprio la funzione definita da \( f(x) = mx \)?
Risposte
Suggerimento: \(x=x\cdot 1\), quindi \(f(x)=f(x\cdot 1)=\cdots\) 
"gugo82":
Suggerimento: \(x=x\cdot 1\), quindi \(f(x)=f(x\cdot 1)=\cdots\)
Non riesco a capire dove vuoi arrivare, ma sento che la soluzione è dietro l'angolo...
Considera \(1\) come vettore ed \(x\) come scalare ed usa la linearità.
P.S.: Considera il fatto che stai riguardando \(\mathbb{R}\) come spazio vettoriale modellato su sé stesso; quindi ogni numero reale lo puoi riguardare come scalare o come vettore, a seconda di come ti fa più comodo.
P.S.: Considera il fatto che stai riguardando \(\mathbb{R}\) come spazio vettoriale modellato su sé stesso; quindi ogni numero reale lo puoi riguardare come scalare o come vettore, a seconda di come ti fa più comodo.
Fino a qui c'ero, però non capisco chi è \( f\, (1) \): intendi dire che \( f\, (1) \in \mathbb{R} \) e quindi per definizione
\[ m := f\, (1) \]
da cui \( f(x) = mx \)?
\[ m := f\, (1) \]
da cui \( f(x) = mx \)?
Certo.
Infatti, per linearità hai:
\[
f(x)=f(x\cdot 1) =x\cdot f(1)=f(1)\cdot x\; ,
\]
quindi ti basta porre \(m:=f(1)\) per dire che \(f(x)\) è del tipo \(mx\).
Infatti, per linearità hai:
\[
f(x)=f(x\cdot 1) =x\cdot f(1)=f(1)\cdot x\; ,
\]
quindi ti basta porre \(m:=f(1)\) per dire che \(f(x)\) è del tipo \(mx\).
Ok, grazie gugo.
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