Funzioni lineari e prodotto di matrici

[curiosone1]

Ciao ragazzi,
ho un dubbio che non ho chiarito ancora complessivamente riguardo le funzioni lineari e il prodotto di matrici.

Funzioni lineari
Sia $ f : A -> R^m $ con A $ A sube R^n $ . La funzione f si definisce funzione lineare se:
1) per ogni $ (a, b) in A $ si ha: $ f(a, b) = f(a) + f(b) $
2) per $ lambda in R $ e per ogni $ x in A $ si ha: $ f(\lambda*x) = lambda * f(x) $ .
Credo che la definizione sia corretta.

Prodotto di matrici:
E' possibile fare il prodotto di due matrici A e B se:
A -> dimensione: (a, b)
B -> dimensione: (c, d)
Se b=c, allora C = A * B con dimensione di C: (a, d).
questa regola per salvare il principio delle funzioni lineari.
Ok, io sono che il prodotto di matrici è una funzione lineare ma non comprendo fino in fondo il perchè.

Che cosa mi sfugge?

Grazie mille

[Magma1]

Prova a verificare se la definizione di "funzione lineare" è valida per le matrici (Suggerimento: quali sono le proprietà del prodotto riga per colonna?)

[curiosone1]

"Magma":Prova a verificare se la definizione di "funzione lineare" è valida per le matrici (Suggerimento: quali sono le proprietà del prodotto riga per colonna?)

Proprietà del prodotto riga per colonna? Mhmm... Allora sappiamo che una somma di prodotti, esempio: a1*b1+a2*b2+a3*b3+...
La funzione f è lineare se: f(a+b+c+...)=f(a)+f(b)+f(c)+... questa proprietà mi ricorda la somma di prodotti vista appena prima.
E ora? O cavoli, mi sono perso nuovamente...
Sono un caso disperato