Funzioni lineari

[needmathhelp]

una funzione f da Rn->Rm è lineare se e solo se esiste una matrice A tale che f(x)=Ax la matrice è unica e le basi euclidee in Rn e Rm sono fissate. Ok, dalla dimostrazione si capisce che l'applicazione lineare f è associata con la matrice A le cui colonne sono le immagini dei vettori delle basi eucldee di Rn secondo f. Ok, fin qui ci sono, ma poi come si arriva a dire che il rango di A è uguale alla dimensione dello spazio immagine Im(f)? E che vuol dire che un set di colonne linearmente indipendenti di A sono una base per Im(f)?? Grazie!!!

[_Tipper]

L'immagine è lo spazio generato dalle colonne della matrice. Il rango è il numero massimo di vettori colonna, o vettori riga, linearmente indipendenti, quindi il rango è la dimensione dell'immagine.
Dato che l'immagine è generata dalle colonne della matrice, se queste sono vettori linearmente indipendenti allora sono una base dell'immagine. Se non lo sono trovi quelli che sono linearmente indipendenti e questi saranno la base dell'immagine.

[needmathhelp]

grazie! sei stato molto chiaro!

[_Tipper]

Prego.