Funzioni limitate

[Bad90]

Non sto capendo come risolvere questi esercizi sulle funzioni limitate, non sto capendo neppure gli esercizi guidati....
Allora, ho che mi viene chiesto di provare che la funzione $ f(x) = 3sen(2x + pi/3) $, definita in $ mathbb(R) $ , sia limitata

Il testo comincia a dire che:

$ -1 <= sen(2x + pi/3) <=1$ E già qui non capisco perchè ha fatto questo passaggio! In aggiunta scrive che $ AA x in mathbb(R) $.

Quindi $ -3<= f(x)<=3, AA x in mathbb(R) $ e la funzione è limitata in $ mathbb(R) $. E anche quì non ho capito che ha fatto con quel

$ -3<= f(x)<=3 $

HELPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

[Zero87]

"Bad90":$ -1 <= sen(2x + pi/3) <=1$ E già qui non capisco perchè ha fatto questo passaggio!

Perché seno e coseno assumono - per qualsiasi valore dell'argomento - valori in $[-1,1]$.

Per il resto, ricorda che scrivere
$a \le f(x) \le b$ (dove si suppone $a\le b$, ma questa è un'altra storia!)
è l'abbreviazione della seguente
${ ( f(x)\ge a ),( f(x) \le b ):}$

... ognuna di queste, come disequazione, gode delle proprietà basilari delle disequazioni tra cui il fatto che si può moltiplicare ogni membro di tale disuguaglianza per una quantità positiva senza cambio di verso (se si moltiplica per una quantità negativa il verso cambia).

In altre parole
${ ( 3f(x)\ge 3a ),( 3f(x) \le 3b ):}$
che riabbreviandolo ritorna ad essere $3a\le 3f(x) \le 3b$.

[Bad90]

"Zero87":[quote="Bad90"]$ -1 <= sen(2x + pi/3) <=1$ E già qui non capisco perchè ha fatto questo passaggio!

Perché seno e coseno assumono - per qualsiasi valore dell'argomento - valori in $[-1,1]$.[/quote]
Ma il fatto che sia il seno che il coseno siano compresi in $[-1,1]$, ok, ma poi da dove l'ha preso quel -3 e +3 e ha cominciato a fare tutti quei passaggi

Ok, ma da dove saltano fuori $ -3$ e$ +3$

IO questo esercizio non ho capito proprio sulla base di cosa abbia fatto quei passaggi

[Zero87]

"Bad90":Ok, ma da dove saltano fuori $ -3 $ e$ +3 $

Dal $-1$ e dal $+1$ iniziali.

"Bad90":IO questo esercizio non ho capito proprio sulla base di cosa abbia fatto quei passaggi

Calma, non farti prendere dal panico.

Colui che l'ha risolto (autore del libro/prof/?) ha fatto un ragionamento del genere

- il seno assume valori compresi tra -1 e 1
- moltiplicando per 3 i valori assunti dal tutto sono compresi tra -3 a 3

... ergo la funzione è limitata.

Il punto è il fatto che seno e coseno sono funzioni limitate ed è questo che permette di risolvere (in questo caso, ma non solo) l'esercizio.

[Bad90]

Quindi questo -3 e +3, sono stati scelti a caso? Avrebbe potuto moltiplicare anche per -4 e +4
Dici questo

[Bad90]

Ecco gli esercizi che non sto capendo:

[Zero87]

"Bad90":Quindi questo -3 e +3, sono stati scelti a caso? Avrebbe potuto moltiplicare anche per -4 e +4
Dici questo

No, sono stati scelti perché compare "3 volte seno di...". Si moltiplica il tutto per 3 e da una parte hai -3 e dall'altra 3, mentre al centro resta $3sin(...)$ che è la funzione per cui cercavi di vedere la limitazione.

L'importante è che hai capito il perché fa una cosa del genere (come ho detto, in fondo $a\le f(x) \le b$ è una catena di disuguaglianze ecc...).