Funzioni iterate.

[_GaS_11]

Si cerchi di caratterizzare le applicazioni $f$ di un insieme $A$ in sé tali che $f^2=f$.
( Si incomincerà con l'individuare gli elementi uniti, cioè gli elementi $yinA$ tali che $f(y)=y$ ).

Non capisco che cosa chiede l'esercizio: un esempio? Una dimostrazione? Cosa significa '' caratterizzare una funzione? ''.
Quindi non cerco un aiuto per la soluzione, ma voglio capire che cosa è richiesto.

[Epimenide93]

@_GaS_ c'è un mio problema di incomprensione: non ho idea a cosa ti riferisca quando parli di funzione immagine.

"_GaS_":nel caso generale ( anche insiemi che non siano costituiti da numeri ), l'unica funzione che soddisfa $f^2=f$, in ogni caso, è quella d'identità.

No, non lo è, lo è qualsiasi funzione che è l'identità se ristretta sulla sua immagine, sugli altri elementi dell'insieme può fare quello che vuole. Prova a fare un diagramma di Venn per vedere la cosa graficamente, magari ti aiuta.

"_GaS_":
Per l'indicizzazione degli insiemi disgiunti di $RR$ intedevo una cosa del genere: ad esempio $[0,1]inRR$ è equipotente a $RR$, pertanto stabilita una certa configurazione di sottoinsiemi disgiunti, posso imporre un'applicazione biunivoca ( ...) tra ogni sottoinsieme e un numero in $[0,1]$.

In generale, non è vero. Se ricopri \(\displaystyle \mathbb{R} \) con intervalli disgiunti, la cardinalità della copertura è al più numerabile (prova a dimostrarlo), ma l'insieme delle parti di \(\displaystyle \mathbb{R} \) ha una cardinalità maggiore di quella del continuo, quindi a ricoprire \(\displaystyle \mathbb{R} \) ti può venir fuori davvero di tutto.

"vict85":
Per quello anche la più esotiva funzione che azzera le cifre di posizione pari (o dispari) delle rappresentazione decimale dei numeri reali.

Fantastico , non mi capita spesso di pensare alle rappresentazioni decimali dei reali, ma vengon fuori delle cose incredibili a volte.

[_GaS_11]

@_GaS_ c'è un mio problema di incomprensione: non ho idea a cosa ti riferisca quando parli di funzione immagine.

Scusa, mi sono confuso, volevo dire '' funzione identità ''.
- Era meglio scrivere:
nel caso generale ( anche insiemi che non siano costituiti da numeri ), l'unica funzione che soddisfa sempre $f^2=f$, è quella d'identità. Ciò non toglie che possano esistere anche altre funzioni che soddisfano la condizione $f^2=f$.
- Non è necessario prendere tutti i sottoinsiemi possibili: scelta una configurazione, un elemento si troverà in un solo sottoinsieme. Se ad esempio prendo: ${1,2,48}$, non li troverò più in nessun altro insieme, ma la loro unione deve dare $RR$.
Inoltre non intendo necessariamente intervalli, ma anche insiemi finiti: ${pi,4,16},...$. In questo caso l'applicazione in $[0,1]$
è valida secondo il criterio prima stabilito.

[_GaS_11]

Dopo un po' avevo capito le vostre soluzioni. Alla fin fine non mi era ancora ben chiara la richiesta dell'esercizio ( che potrebbe riassumersi in: determinare per quali condizioni è sempre vera $f^2=f$ ).
Propongo una soluzione adattata, che si scosta lievemente da quella di @vict85.
Si fissi $F'subeA$. Allora: $F=f^(-1)(F');AAyinF,f(y)=y=zinF'=>F=F'$. Se $F'!=varphi=>F!=varphi$.
Se $f(A)supF=>f(F)supF'$. No. Così: $f(A)subeF$.
Ma essendo: $FsubeA=>f(A)supeF$. Da cui: $f(A)=F$.

Però l'altra strada mi aveva preso, pertanto propongo una versione un po' più avanzata dell'esercizio.
Si individuino le funzioni $f$ di un insieme $A$ in sé tali che soddisfino sempre $f^2=f$.
SOLUZIONE.
Sia $A=uuu_(iinI)X_i,AAi_1,i_2:X_1nnX_2=varphi$. $I$: insieme per adeguata indicizzazione.
$f:{xtof(x):AtoA},f(x)=x_i,x_iinX_i,AAiinI$. Infatti esiste almeno un insieme per il quale la condizione $f(x)!=x_i,x_iinX_i$ non rispetta le prerogative:
$A={a,b}$.

Ovvero se $f(a)=b$ e per ipotesi $f(f(b))=b$ non viene rispettata l'ipotesi. In questo modo si può lavorare su una categoria più ristretta di funzioni, in quanto esiste almeno un insieme nel quale alcuni tipi di funzioni non soddisfano il requisito.

Quindi $f(A)subeA$.
Se $f(A)subA,card(I)>1=>nonEEX_iinf(A)=>nonEEf(f(x)):f(f(x))=f(x)$.

Infatti nell'immagine di $A$ non esistono più i sottoinsiemi $X_i$, dal momento che '' sopravvivono '' soltanto gli elementi selezionati dalla condizione della funzione; pertanto $f^2=f$ non può avverarsi per definizione. Il dominio è cambiato.
Se la cardinalità di $I$ vale $1$ l'unico sottoinsieme di $A$ preso è $A$ stesso; se è maggiore di $1$ ci ritroviamo nella situazione prima citata in questo stesso spoiler, ma nel caso di $card(I)=1$ siamo nel caso della funzione costante, e la condizione è rispettata.

Le uniche funzione che soddisfano sempre ( ovviamente in casi particolari possono essercene anche altre, insieme a queste ) le condizioni imposte sono:
Se $f(A)=A=>f(f(x))=f(x)$.
Se $f(A)=k=>f(f(x))=f(x)$.
Ovvero le funzioni identità e costante soddisfano sempre quanto richiesto.