Funzioni iperboliche
cosa sono le funzioni trigonometriche iperboliche?e perchè si usano?
ho fatto analisi 1 e 2 ma non le ho mai incontrate ne usate..
a volte però appaiono nelle formule degli ambiti applicativi più diversi cosh e senh..
ho fatto analisi 1 e 2 ma non le ho mai incontrate ne usate..
a volte però appaiono nelle formule degli ambiti applicativi più diversi cosh e senh..
Risposte
credo che siano somme di esponenziali...credo derivino dalla possibilità di scrivere l'esponenziale complesso come somma di sin e cos
Questa è una domanda fatta apposta per Lupo Grigio...
Il coseno iperbolico è una funzione che rappresenta la variazione,
in funzione di x, della media aritmetica tra i valori e^x ed e^(-x)
in funzione di x, della media aritmetica tra i valori e^x ed e^(-x)
In goniometria si ha sempre:
cos²x + sin²x = 1
Anche le funzioni iperboliche hanno
la loro "relazione fondamentale":
cosh²x - sinh²x = 1
cos²x + sin²x = 1
Anche le funzioni iperboliche hanno
la loro "relazione fondamentale":
cosh²x - sinh²x = 1
ecco le identità fondamentali:
senh (x)=[e^x - e^(-x)]/2
cosh (x)=[e^x + e^(-x)]/2
e^x =senh (x) +cosh(x)
senh (x)=[e^x - e^(-x)]/2
cosh (x)=[e^x + e^(-x)]/2
e^x =senh (x) +cosh(x)
Ciao, Ermanno.
"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan
Dal momento che l'amico goblyn mi ha tirato in causa mi tocca per forza dire qualche cosa...
Poichè una descrizione accurata di che cosa sono le funzioni iperboliche ci è stata data da leonardo, vedrò di dire qualche cosa sulla seconda domanda posta da Laura, vale a dire a che cosa servono, in altre parole dove trovano applicazione. Tra i problemi che ho dovuto affrontare nella vita di tutti i giorni, uno è strettamente lagato alle funzioni iperboliche. Si doveva determinare [in modo aprossimativo...] la lunghezza effettiva dei conduttori di un elettrodotto nota la sua lunghezza 'geografica'. Un cavo conduttore flessibile vincolato in due punti A e B [le estremità di due tralicci...] di coordinate [x0,y0] e [x1,y1] si dispone secondo una curva chiamata catenaria, una di quelle che vedete nella figura...
L'equazione analitica della curva è...
y=a*cosh(x/a) [1]
... ossia è una relazione del tipo iperbolico. Il parametro a rappresenta l'altezza minima rispetto al terreno raggiunta dal conduttore [si suppone che tale punto della curva abbia ascissa x=0...]. Il problema a questo punto che ho dovuto risolvere allora [avevo qualche anno di meno...] e che propongo a voi giovani è il seguente...
Dati xo,yo,x1,y1 e a calcolare la lunghezza l dell'arco di catenaria...
cordiali saluti!...
lupo grigio
Poichè una descrizione accurata di che cosa sono le funzioni iperboliche ci è stata data da leonardo, vedrò di dire qualche cosa sulla seconda domanda posta da Laura, vale a dire a che cosa servono, in altre parole dove trovano applicazione. Tra i problemi che ho dovuto affrontare nella vita di tutti i giorni, uno è strettamente lagato alle funzioni iperboliche. Si doveva determinare [in modo aprossimativo...] la lunghezza effettiva dei conduttori di un elettrodotto nota la sua lunghezza 'geografica'. Un cavo conduttore flessibile vincolato in due punti A e B [le estremità di due tralicci...] di coordinate [x0,y0] e [x1,y1] si dispone secondo una curva chiamata catenaria, una di quelle che vedete nella figura...
L'equazione analitica della curva è...
y=a*cosh(x/a) [1]
... ossia è una relazione del tipo iperbolico. Il parametro a rappresenta l'altezza minima rispetto al terreno raggiunta dal conduttore [si suppone che tale punto della curva abbia ascissa x=0...]. Il problema a questo punto che ho dovuto risolvere allora [avevo qualche anno di meno...] e che propongo a voi giovani è il seguente...
Dati xo,yo,x1,y1 e a calcolare la lunghezza l dell'arco di catenaria...
cordiali saluti!...
lupo grigio
Io farei così:
considero la catenaria una curva di R2 e cerco una parametrizzazione, ad esempio:
x=t
y=a*cosh(t/a)
con tcompreso tra x0 ed x1
l'elemento infinitesimo di curva ds=|sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)|dt
integro ds tra t0 e t1, rispettivamente uguali a x0 ed x1 e così trovo la lunghezza l della curva...
Ovviamente se l'integrale è troppo complicato da risolvere analiticmente il metodo di Simpson potrebbe sollevarci dall'impasse...
considero la catenaria una curva di R2 e cerco una parametrizzazione, ad esempio:
x=t
y=a*cosh(t/a)
con tcompreso tra x0 ed x1
l'elemento infinitesimo di curva ds=|sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)|dt
integro ds tra t0 e t1, rispettivamente uguali a x0 ed x1 e così trovo la lunghezza l della curva...
Ovviamente se l'integrale è troppo complicato da risolvere analiticmente il metodo di Simpson potrebbe sollevarci dall'impasse...
La lunghezza dell'arco di catenaria a me viene:
L = sqrt(y0^2 - a^2) + sqrt(y1^2 - a^2).
Il valore di a si ricava imponendo il passaggio della catenaria per uno dei due punti dati.
L = sqrt(y0^2 - a^2) + sqrt(y1^2 - a^2).
Il valore di a si ricava imponendo il passaggio della catenaria per uno dei due punti dati.
Molto utile e ben fatto il sommario di leonardo sulle funzioni iperboliche ; da correggere però un lapsus :
"Infatti l'iperbole equilatera x^2+y^2 = 1 può essere ....."
ovviamente la forma corretta è : x^2-y^2 = 1.
Camillo
"Infatti l'iperbole equilatera x^2+y^2 = 1 può essere ....."
ovviamente la forma corretta è : x^2-y^2 = 1.
Camillo
È una circonferenza, non una ellisse! [:)]
Le circonferenze sono ellissi...
Veramente sarebbe una circonferenza..
Camillo
Camillo
Non c'è nulla di sbaliato nel dire che x^2+y^2=1 è un'ellisse...
quote:
Originally posted by JvloIvk
Le circonferenze sono ellissi...
Non è vero!
La circonferenza è definita in un modo
e l'ellisse in un altro! [:)]
Cmq non direi di andare avanti con
queste sterili discussioni; il titolo
del topic è "funzioni iperboliche":
non andiamo troppo off-topic.
Io non ti sto dicendo che x^2+y^2=1 non è una circonferenza ,ma che non c'è nulla di sbagliato nel dire che x^2+y^2=1 è un'ellisse...Le circonferenze sono casi particolari dell'ellissi
Mi sembra una cattiva abitudine cancellare dei post , anche se a posteriori si è visto che contengono un errore, una svista o quant'altro ; succede a tutti: nessuno è perfetto.
Avendo leonardo, nel caso specifico,cancellato il suo post in cui parlava di ellisse rende incomprensibile ai più lo scambio di posts relativi a ellisse e circonferenza.
Non era meglio modificare il post in oggetto aggiungendo in fondo una specie di correzione ?
E' una proposta sulla quale invito a riflettere : non sarebbe il caso di seguirla?
Commenti saranno benvenuti.
Camillo
Avendo leonardo, nel caso specifico,cancellato il suo post in cui parlava di ellisse rende incomprensibile ai più lo scambio di posts relativi a ellisse e circonferenza.
Non era meglio modificare il post in oggetto aggiungendo in fondo una specie di correzione ?
E' una proposta sulla quale invito a riflettere : non sarebbe il caso di seguirla?
Commenti saranno benvenuti.
Camillo
cari amici
a quanto pare, anzichè fare il ’compitino’ assegnato sulla curva catenaria [così chiamata perché assunta da una catena vincolata nei soli punti estremi…], vi siete accapigliati in una discussione, diciamolo pure, assai poco interessante… vorrà dire che il compitino lo farà il vecchio lupo, cercando di ricordare la strada che ha seguito da giovane…
Il problema di un conduttore elettrico filiforme e flessibile posto tra due tralicci è, grosso modo, schematizzato in figura…
... i dati del problema sono:
a) la lunghezza L del conduttore filiforme
b) la distanza d [in orizzontale] tra i due tralicci
c) le quote yo e y1 dei vertici dei tralicci
Prima di affrontare il problema è necessario calcolare la lunghezza rettificata di un arco di catenaria. Ricordiamo la che la rappresentazione analitica di tale curva è data da…
y(x)= a*cosh (x/a) + b [1]
… dove a è un parametro che determina quanto la curva è ‘stretta’ e b è un a costante indeterminata. La lunghezza di un arco ci catenaria compreso tra due punti di acisse xo e x1 è esprimibile come…
L= Int [xo
Utilizzando in cambiamento di variabile t=x/a, per cui è dx= a* dt, la formula si riduce a…
L=a*Int [to
Una delle proprietà più suggestive e anche comode, almeno a mio parere, delle funzioni ‘seno iperbolico’ e ‘coseno iperbolico’ è data dal fatto che ognuna di esse è derivata e primitiva dell’altra per cui, con semplici passaggi e utilizzando la relazione [che leonardo ci ha ricordato] cosh(t)^2-sinh(t)^2=1, si arriva a scrivere…
L= a*Int [to
A questo punto per risolvere il problema si deve risolvere il seguente sistema delle quattro equazioni nelle quattro incognite a,b,xo e x1…
a*cosh(xo/a)+b= yo
a*cosh(x1/a)+b=y1
a*[sinh(x1/a)-sinh(xo/a)]=L
x1-xo=d [5]
Il sistema di equazioni naturalmente non è lineare e deve essere affrontato con metodi numerici. Secondo la mia personale esperienza il metodo più sicuro per affrontare problemi del genere consiste nell’algoritmo noto come steepest descent [‘a più ripioda discesa’]…
cordiali saluti!…
lupo grigio
a quanto pare, anzichè fare il ’compitino’ assegnato sulla curva catenaria [così chiamata perché assunta da una catena vincolata nei soli punti estremi…], vi siete accapigliati in una discussione, diciamolo pure, assai poco interessante… vorrà dire che il compitino lo farà il vecchio lupo, cercando di ricordare la strada che ha seguito da giovane…
Il problema di un conduttore elettrico filiforme e flessibile posto tra due tralicci è, grosso modo, schematizzato in figura…
... i dati del problema sono:
a) la lunghezza L del conduttore filiforme
b) la distanza d [in orizzontale] tra i due tralicci
c) le quote yo e y1 dei vertici dei tralicci
Prima di affrontare il problema è necessario calcolare la lunghezza rettificata di un arco di catenaria. Ricordiamo la che la rappresentazione analitica di tale curva è data da…
y(x)= a*cosh (x/a) + b [1]
… dove a è un parametro che determina quanto la curva è ‘stretta’ e b è un a costante indeterminata. La lunghezza di un arco ci catenaria compreso tra due punti di acisse xo e x1 è esprimibile come…
L= Int [xo
Utilizzando in cambiamento di variabile t=x/a, per cui è dx= a* dt, la formula si riduce a…
L=a*Int [to
Una delle proprietà più suggestive e anche comode, almeno a mio parere, delle funzioni ‘seno iperbolico’ e ‘coseno iperbolico’ è data dal fatto che ognuna di esse è derivata e primitiva dell’altra per cui, con semplici passaggi e utilizzando la relazione [che leonardo ci ha ricordato] cosh(t)^2-sinh(t)^2=1, si arriva a scrivere…
L= a*Int [to
A questo punto per risolvere il problema si deve risolvere il seguente sistema delle quattro equazioni nelle quattro incognite a,b,xo e x1…
a*cosh(xo/a)+b= yo
a*cosh(x1/a)+b=y1
a*[sinh(x1/a)-sinh(xo/a)]=L
x1-xo=d [5]
Il sistema di equazioni naturalmente non è lineare e deve essere affrontato con metodi numerici. Secondo la mia personale esperienza il metodo più sicuro per affrontare problemi del genere consiste nell’algoritmo noto come steepest descent [‘a più ripioda discesa’]…
cordiali saluti!…
lupo grigio
Ciao lupo grigio, hai visto la mia soluzione? Lo so è incompleta, ma cosa ne pensi?
Ah, ma io non avevo considerato b[1]! anche perchè nel post iniziale non si vedeva....
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