Funzioni inverse - simmetria
Salve,
sappiamo tutti, e si può facilmente vedere graficamente, che due funzioni inverse sono simmetriche rispetto alla retta y=x
Esiste una dimostrazione matematica?
Grazie
sappiamo tutti, e si può facilmente vedere graficamente, che due funzioni inverse sono simmetriche rispetto alla retta y=x
Esiste una dimostrazione matematica?
Grazie
Risposte
Sì, esiste. Cosa hai provato a fare per dimostrarlo?
Sono partito da scrivere la retta passante per il punto della funzione e ortogonale a y=x. Non so se è la strada giusta
Non saprei: pensavo ad una dimostrazione ottenuta passando direttamente per la definizione di grafico. Per definizione, hai che $[(x,y)\in\text{graph}(f)] \iff [y=f(x)]$. Ora, sai che $f$ è invertibile e quindi...
Visto che è passato qualche giorno, dimostro questo fatto.
Per definizione di grafico di una funzione, è:
$$[(x,y) \in \text{graph}(f)] \iff [y=f(x)]$$
Ma, dato che per ipotesi $f$ è invertibile, risulta $[y=f(x)] \iff [x=f^{-1}(y)]$. Nuovamente dalla definizione di grafico (stavolta usato nel caso di $f^{-1}$), si ha:
$$[x=f^{-1}(y)] \iff [(y,x) \in \text{graph}(f^{-1})]$$
Dunque, confrontando prima e ultima equivalenza logica, si ha:
$$[(x,y) \in \text{graph}(f)] \iff [(y,x) \in \text{graph}(f^{-1})]$$
Questa equivalenza si interpreta come segue: noto il grafico di $f$, il grafico di $f^{-1}$ si ottiene da quello di $f$ scambiando $x$ con $y$ (chiaramente, vale anche l'interpretazione duale a partire dal grafico di $f^{-1}$); tale scambio, geometricamente, si interpreta come una simmetria dei grafici di $f$ ed $f^{-1}$ rispetto alla retta di equazione $y=x$.
Per definizione di grafico di una funzione, è:
$$[(x,y) \in \text{graph}(f)] \iff [y=f(x)]$$
Ma, dato che per ipotesi $f$ è invertibile, risulta $[y=f(x)] \iff [x=f^{-1}(y)]$. Nuovamente dalla definizione di grafico (stavolta usato nel caso di $f^{-1}$), si ha:
$$[x=f^{-1}(y)] \iff [(y,x) \in \text{graph}(f^{-1})]$$
Dunque, confrontando prima e ultima equivalenza logica, si ha:
$$[(x,y) \in \text{graph}(f)] \iff [(y,x) \in \text{graph}(f^{-1})]$$
Questa equivalenza si interpreta come segue: noto il grafico di $f$, il grafico di $f^{-1}$ si ottiene da quello di $f$ scambiando $x$ con $y$ (chiaramente, vale anche l'interpretazione duale a partire dal grafico di $f^{-1}$); tale scambio, geometricamente, si interpreta come una simmetria dei grafici di $f$ ed $f^{-1}$ rispetto alla retta di equazione $y=x$.
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