Funzioni integrali - E per integrali di superficie?
Siano $f \in C^{1}(\RR^{2})$, $a,b \in C^{1}(\RR)$. E' ben noto che in tal caso la funzione [tex]\Phi: x \mapsto \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,y)dy[/tex] è di classe $C^{1}$ su tutto $\RR$ e vale
\[
\frac{d}{dx}\Phi(x)= \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f }{\partial x}(x,y)dy + f(x,b(x))b'(x) - f(x,a(x))a'(x)
\]
Ciò è una semplice applicazione del teorema di derivazione sotto il segno di integrale e di applicazione della regola di derivazione di funzioni composte.
Ebbene, mi pongo la seguente domanda: conoscete un teorema analogo su integrali superficiali (o, comunque, in generale multipli)? Mi spiego meglio: supponete di avere un cammino di superfici (immaginatevi, ad esempio, delle sfere di raggio variabile, che so crescente con il tempo: riesco a rendere l'idea?): insomma, una funzione $S$ che ad ogni $t \in \RR$ (o in un suo intervallo) associ una superficie $S(t)$ (ha senso?).
Che ne è della funzione integrale $\Phi(t)=\int_{S(t)} f(x,y)d\sigma$? E' derivabile?
La domanda è probabilmente vaga e imprecisa, ma cercando qui e là non ho trovato nulla. Alla fin fine, mi sembra che sia in qualche modo sufficiente trovare un analogo della formula di sopra nel caso di integrali multipli (giacché, mediante pullback, l'integrale su superficie diventa un integrale doppio, no?).
La questione nasce da ben altri ambiti e mi piacerebbe vedere la cosa un po' nel dettaglio, formalizzata come si deve.
Una mano, per piacere? Grazie!
\[
\frac{d}{dx}\Phi(x)= \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f }{\partial x}(x,y)dy + f(x,b(x))b'(x) - f(x,a(x))a'(x)
\]
Ciò è una semplice applicazione del teorema di derivazione sotto il segno di integrale e di applicazione della regola di derivazione di funzioni composte.
Ebbene, mi pongo la seguente domanda: conoscete un teorema analogo su integrali superficiali (o, comunque, in generale multipli)? Mi spiego meglio: supponete di avere un cammino di superfici (immaginatevi, ad esempio, delle sfere di raggio variabile, che so crescente con il tempo: riesco a rendere l'idea?): insomma, una funzione $S$ che ad ogni $t \in \RR$ (o in un suo intervallo) associ una superficie $S(t)$ (ha senso?).
Che ne è della funzione integrale $\Phi(t)=\int_{S(t)} f(x,y)d\sigma$? E' derivabile?
La domanda è probabilmente vaga e imprecisa, ma cercando qui e là non ho trovato nulla. Alla fin fine, mi sembra che sia in qualche modo sufficiente trovare un analogo della formula di sopra nel caso di integrali multipli (giacché, mediante pullback, l'integrale su superficie diventa un integrale doppio, no?).
La questione nasce da ben altri ambiti e mi piacerebbe vedere la cosa un po' nel dettaglio, formalizzata come si deve.
Una mano, per piacere? Grazie!
Risposte
Credo che si possa scrivere facilmente scrivendo (in forma del tutto generale) la rappresentazione parametrica di $S(t)$ e quindi riscrivendo la funzione integrale usando la "formula" che ti permette di calcolare gli integrali di superficie. Tra l'altro, direi che puoi anche pensare ad una cosa del tipo
$\Phi(t)=\int_{S(t)} f(x,y,t)\ d\sigma$
$\Phi(t)=\int_{S(t)} f(x,y,t)\ d\sigma$
Grazie, ciampax.
Vediamo se ho capito dove vuoi portarmi: sia [tex]\phi(x,y,t) \colon \Omega \times [a,b] \to \mathbb{R}^{3}[/tex] (dove $\Omega \subset \RR^{2}$ è un aperto) una mappa tale che - per $\overline{t}$ fissato - $\phi(x,y,overline{t})$ sia una parametrizzazione della superficie $S(\overline{t})$.
Allora
\[
g(t)=\int_{S(t)} f(x,y,t)\ d\sigma = \int_{(u,v) \in \Omega} f(\phi(u,v,t), t) \det(J) dudv
\]
dove $det J$ denota il determinante jacobiano della parametrizzazione (il campo $(u,v,t) \mapsto (x(u,v,t), y(u,v,t))$). Ma come lo tratto $t$? Lo suppongo congelato?
E ora, che cosa faccio? Applico Fubini? E una volta che ho il prodotto degli integrali applico il caso unidimensionale (dovrò derivare un prodotto, quindi verosimilmente la formula si complicherà un tantino...).
Grazie ancora.
Vediamo se ho capito dove vuoi portarmi: sia [tex]\phi(x,y,t) \colon \Omega \times [a,b] \to \mathbb{R}^{3}[/tex] (dove $\Omega \subset \RR^{2}$ è un aperto) una mappa tale che - per $\overline{t}$ fissato - $\phi(x,y,overline{t})$ sia una parametrizzazione della superficie $S(\overline{t})$.
Allora
\[
g(t)=\int_{S(t)} f(x,y,t)\ d\sigma = \int_{(u,v) \in \Omega} f(\phi(u,v,t), t) \det(J) dudv
\]
dove $det J$ denota il determinante jacobiano della parametrizzazione (il campo $(u,v,t) \mapsto (x(u,v,t), y(u,v,t))$). Ma come lo tratto $t$? Lo suppongo congelato?
E ora, che cosa faccio? Applico Fubini? E una volta che ho il prodotto degli integrali applico il caso unidimensionale (dovrò derivare un prodotto, quindi verosimilmente la formula si complicherà un tantino...).
Grazie ancora.
Queste "derivate rispetto al dominio" compaiono spesso nei problemi di ottimizzazione di forma (shape optimization).
Puoi vedere, ad esempio, il libro di Henrot e Pierre, Variation et optimisation de formes, cap. 5.
Di norma gli integrali considerati sono del tipo
\[
g(t) := \int_{\Omega_t} f(t,x) dx,
\]
dove \(\Omega_t := \Phi(t, \Omega)\) è l'immagine di un fissato dominio \(\Omega\subset\mathbb{R}^n\) attraverso un diffeomorfismo \(\Phi(t, \cdot):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) tale che \(\Phi(0, \cdot) = Id\).
Tipicamente si vuole calcolare \(g'(0)\).
La tua richiesta (con superfici variabili) è un po' diversa ma penso si possa riscrivere in questa forma usando i domini di parametrizzazione delle superfici stesse.
Puoi vedere, ad esempio, il libro di Henrot e Pierre, Variation et optimisation de formes, cap. 5.
Di norma gli integrali considerati sono del tipo
\[
g(t) := \int_{\Omega_t} f(t,x) dx,
\]
dove \(\Omega_t := \Phi(t, \Omega)\) è l'immagine di un fissato dominio \(\Omega\subset\mathbb{R}^n\) attraverso un diffeomorfismo \(\Phi(t, \cdot):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) tale che \(\Phi(0, \cdot) = Id\).
Tipicamente si vuole calcolare \(g'(0)\).
La tua richiesta (con superfici variabili) è un po' diversa ma penso si possa riscrivere in questa forma usando i domini di parametrizzazione delle superfici stesse.
Bellissimo! Grazie Rigel, ho dato un'occhiata al libro di Henrot e Pierre, c'è un sacco di roba e mi pare interessante.
Appena riesco, do un'occhiata più attenta e vedo di riformulare meglio la questione.
Grazie!
Appena riesco, do un'occhiata più attenta e vedo di riformulare meglio la questione.
Grazie!
Posso darti la formula ma non ho la benché minima idea di quale sia la dimostrazione o di dove tu possa trovarla, il professore ce la scrisse alla lavagna tanto per curiosità.
In realtà possiedo la dimostrazione solo in un caso molto particolare che si usa nell'Evans, "Partial Differential Equations", in una dimostrazione per l'equazione delle onde con metodi energetici.
Sia \(\displaystyle \Lambda(t) \subseteq \mathbb{R}^n \) un dominio regolare (aperto e connesso) con bordo regolare che evolve nel tempo. Con \(\displaystyle \partial \Lambda (t) \) intendo la frontiera di \(\displaystyle \Lambda (t) \).Per ogni \(\displaystyle x \in \partial \Lambda (t) \) indico con \(\displaystyle v(x,t) \) la "velocità con cui si muove il punto \(\displaystyle x \) al tempo \(\displaystyle t \)" e con \(\displaystyle \upsilon (x,t) \) il versore normale esterno in \(\displaystyle (x,t) \).
Pongo \(\displaystyle e(t):= \int_{\Lambda (t)} g(x,t) \, d x\). Allora si ha
\[ \frac{d e(t)}{dt} = \int_{\Lambda (t)} \frac{\partial g(x,t)}{\partial t} \, d x + \int_{\partial \Lambda (t)} g(x,t) \langle v(x,t) , \upsilon (x,t ) \rangle \, d s(x).\]
Nel secondo integrale (calcolato su una ipersuperficie) le parentesi angolari indicano il prodotto scalare.
Naturalmente tutto ciò andrebbe formalizzato ma non so i dettagli. Per regolare si dovrebbe intendere \(\displaystyle C^1 \).Forse nella bibliografia dell'Evans potresti trovare qualcosa. Da quanto ho capito lì vengono usate molte formule simili.
In realtà possiedo la dimostrazione solo in un caso molto particolare che si usa nell'Evans, "Partial Differential Equations", in una dimostrazione per l'equazione delle onde con metodi energetici.
Sia \(\displaystyle \Lambda(t) \subseteq \mathbb{R}^n \) un dominio regolare (aperto e connesso) con bordo regolare che evolve nel tempo. Con \(\displaystyle \partial \Lambda (t) \) intendo la frontiera di \(\displaystyle \Lambda (t) \).Per ogni \(\displaystyle x \in \partial \Lambda (t) \) indico con \(\displaystyle v(x,t) \) la "velocità con cui si muove il punto \(\displaystyle x \) al tempo \(\displaystyle t \)" e con \(\displaystyle \upsilon (x,t) \) il versore normale esterno in \(\displaystyle (x,t) \).
Pongo \(\displaystyle e(t):= \int_{\Lambda (t)} g(x,t) \, d x\). Allora si ha
\[ \frac{d e(t)}{dt} = \int_{\Lambda (t)} \frac{\partial g(x,t)}{\partial t} \, d x + \int_{\partial \Lambda (t)} g(x,t) \langle v(x,t) , \upsilon (x,t ) \rangle \, d s(x).\]
Nel secondo integrale (calcolato su una ipersuperficie) le parentesi angolari indicano il prodotto scalare.
Naturalmente tutto ciò andrebbe formalizzato ma non so i dettagli. Per regolare si dovrebbe intendere \(\displaystyle C^1 \).Forse nella bibliografia dell'Evans potresti trovare qualcosa. Da quanto ho capito lì vengono usate molte formule simili.
Grazie Leo, quella lì è proprio la formula che stavo cercando io. Mi è utile il riferimento bibliografico, non avevo proprio pensato di andare a cercare su Evans. Grazie!
Appena ho un attimo di calma (debbo sistemare alcune faccende "geometriche" per un esame a breve) torno sull'argomento e vi faccio sapere.
Appena ho un attimo di calma (debbo sistemare alcune faccende "geometriche" per un esame a breve) torno sull'argomento e vi faccio sapere.
[OT]... è quello che penso io? Il cognome del docente inizia per B e finisce per a??? Mi vengono i brividi solo a pensare a quell'esame!
P.S. Io avevo cercato di fugare i miei dubbi sul Silvestrini Mencuccini, ma, mi sembra, invano (e poi ho rimosso la questione dalla mia testa). [/OT]
P.S. Io avevo cercato di fugare i miei dubbi sul Silvestrini Mencuccini, ma, mi sembra, invano (e poi ho rimosso la questione dalla mia testa). [/OT]
"Paolo90":
Grazie Leo, quella lì è proprio la formula che stavo cercando io. Mi è utile il riferimento bibliografico, non avevo proprio pensato di andare a cercare su Evans. Grazie!
Di niente, anzi, cercando un attimino sul web ho trovato anche questo, paragrafo 3.3.
Andando alla deriva nella letteratura per geometri mi sono imbattuto nel paragrafo 9.2 dal titolo "Differentiating integral expressions; Divergence" del libro Manifolds and differential geometry di Jeff Lee. A occhio mi pare che tratti la costruzione che diceva Rigel generalizzandola al caso di una qualsiasi varietà orientata. Si ricava così una definizione invariante per la divergenza.
Si può consultare qui:
http://books.google.it/books?id=QqHdHy9 ... &q&f=false
EDIT 11/06
Un'altra risorsa sullo stesso argomento più vicina alle applicazioni: Frankel, The Geometry of Physics, §4.3 "Differentiation of integrals". E' un argomento interessante perché getta un po' di luce sulle operazioni di derivata di Lie e di prodotto interno (\(i_X\)).
Si può consultare qui:
http://books.google.it/books?id=DUnjs6n ... &q&f=false
EDIT 20/06
Segnalo
http://en.wikipedia.org/wiki/Differenti ... dimensions
Si parla della formula citata da Leonardo, che in fluidodinamica prende il nome di teorema del trasporto di Reynolds.
EDIT 25/02/15
Per la dimostrazione del teorema del trasporto di Reynolds si può consultare questa pagina di Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_t ... al_element
Si può consultare qui:
http://books.google.it/books?id=QqHdHy9 ... &q&f=false
EDIT 11/06
Un'altra risorsa sullo stesso argomento più vicina alle applicazioni: Frankel, The Geometry of Physics, §4.3 "Differentiation of integrals". E' un argomento interessante perché getta un po' di luce sulle operazioni di derivata di Lie e di prodotto interno (\(i_X\)).
Si può consultare qui:
http://books.google.it/books?id=DUnjs6n ... &q&f=false
EDIT 20/06
Segnalo
http://en.wikipedia.org/wiki/Differenti ... dimensions
Si parla della formula citata da Leonardo, che in fluidodinamica prende il nome di teorema del trasporto di Reynolds.
EDIT 25/02/15
Per la dimostrazione del teorema del trasporto di Reynolds si può consultare questa pagina di Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_t ... al_element
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