Funzioni integrali - dubbi parte 2
Ciao!
Vi scrivo perché non so come risolvere il seguente limite:
$lim_(x->0)(\int_{2x^3}^{3x^2} 5t*sin(t^3) dt)/(27x^10)$
Come faccio a trovare il limite dato che:
- Il calcolo dell'integrabile è impraticabile;
- L'applicazione di Hopital non è possibile dato che non è un integrale indefinito e non so il valore dell'integrale.
Ringrazio chiunque mi sappia dare una mano!
Vi scrivo perché non so come risolvere il seguente limite:
$lim_(x->0)(\int_{2x^3}^{3x^2} 5t*sin(t^3) dt)/(27x^10)$
Come faccio a trovare il limite dato che:
- Il calcolo dell'integrabile è impraticabile;
- L'applicazione di Hopital non è possibile dato che non è un integrale indefinito e non so il valore dell'integrale.
Ringrazio chiunque mi sappia dare una mano!
Risposte
"CLaudio Nine":
- Il calcolo dell'integrabile è impraticabile;
Perchè scusa?
Puoi usare de l'Hôpital, a che tende l'integrale quando $x \to 0$? Non ho capito la parte su non essere un integrale indefinito, non mi pare c'entri molto con la possibilità di usare o no de l'Hôpital.
@Anacleto13 non credo funzioni
@Anacleto13 non credo funzioni
dato che avevo iniziato a scrivere gli riporto qua la formula:
La regola di derivazione della funzione integrale composta è,
data $F(x)$:
$F(x)=int_(\alpha(x))^(\beta(x))f(t)dt$
la seguente:
$F'(x)=\beta'(x)*f(\beta(x))-\alpha'(x)*f(\alpha(x))$
di fatto non c'è niente da dimostrare. E' scritto tutto nel teorema fondamentale del calcolo.
La regola di derivazione della funzione integrale composta è,
data $F(x)$:
$F(x)=int_(\alpha(x))^(\beta(x))f(t)dt$
la seguente:
$F'(x)=\beta'(x)*f(\beta(x))-\alpha'(x)*f(\alpha(x))$
di fatto non c'è niente da dimostrare. E' scritto tutto nel teorema fondamentale del calcolo.
Penso che il problema risieda nel dimostrare che siano soddisfatte le ipotesi del teorema di De l'Hopital: più precisamente l'OP non riesce a verificare che il limite generi una forma di indecisione del tipo $\left[\frac{0}{0}\right]$... o magari no, semplicemente sono io che vado in paranoia 
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"SirDanielFortesque":
dato che avevo iniziato a scrivere gli riporto qua la formula:
La regola di derivazione della funzione integrale composta è,
data $F(x)$:
$F(x)=int_(\alpha(x))^(\beta(x))f(t)dt$
la seguente:
$F'(x)=\beta'(x)*f(\beta(x))-\alpha'(x)*f(\alpha(x))$
di fatto non c'è niente da dimostrare. E' scritto tutto nel teorema fondamentale del calcolo.
Innanzitutto ti ringrazio.
Ho provato ad applicare quanto scritto.
Utilizzando Hopital e derivando numeratore e denominatore il risultato sarebbe:
lim x -> 0 $(90x^3 * sin(3x^2) - 60x^5 * sin(2x^3)) / (270x^9)$
A questo punto, anziché continuare ad utillizare Hopital n volte, ho pensato di fare gli sviluppi di Taylor delle funzioni seno. Tuttavia il risultato dovrebbe essere un numero finito, mentre dai miei calcoli risulta più infinito.
Ricontrolla la derivata dell'integrale. Hai commesso certamente un errore nella composizione: l'argomento del seno nella funzione integranda è elevato al cubo. A parte questo, fai bene a usare Taylor per il limite che viene fuori.
Mi sa che non hai applicato bene la legge di derivazione a dire il vero.
Il primissimo passo da fare, come ti hanno fatto notare gli altri, è capire che quella funzione integrale è infinitesima per $x->0$ (allo stesso modo del denominatore della funzione di cui vuoi calcolare il limite).
a quel punto applichi DH:
$lim_(x->0)[(int_(2x^3)^(3x^2)5t*sin(t^3)dt)/(27*x^10)] =$
$\overset(DH)(=)lim_(x->0)((3*2*x)*5*(3*x^2)*sen((3*x^2)^3)-(2*3*x^2)*5*(2*x^3)*sen((2*x^3)^3))/(270*x^9)$
Devi sostituire gli estremi di integrazione nella funzione integranda. E' questo il senso di scrivere $f(\alpha(x))$ e $f(\beta(x))$. cioè al posto della $t$ ci metti gli estremi di integrazione.
Al terzo edit ho messo il comando overset per mettere DH sull'uguale. Non sapevo esistesse.
Il primissimo passo da fare, come ti hanno fatto notare gli altri, è capire che quella funzione integrale è infinitesima per $x->0$ (allo stesso modo del denominatore della funzione di cui vuoi calcolare il limite).
a quel punto applichi DH:
$lim_(x->0)[(int_(2x^3)^(3x^2)5t*sin(t^3)dt)/(27*x^10)] =$
$\overset(DH)(=)lim_(x->0)((3*2*x)*5*(3*x^2)*sen((3*x^2)^3)-(2*3*x^2)*5*(2*x^3)*sen((2*x^3)^3))/(270*x^9)$
Devi sostituire gli estremi di integrazione nella funzione integranda. E' questo il senso di scrivere $f(\alpha(x))$ e $f(\beta(x))$. cioè al posto della $t$ ci metti gli estremi di integrazione.
Al terzo edit ho messo il comando overset per mettere DH sull'uguale. Non sapevo esistesse.
Ciao CLaudio Nine,
E' evidente che puoi usare la regola di de l'Hôpital perché chiaramente per $x \to 0 $ l'integrale a numeratore vale $0$, per cui hai proprio una forma indeterminata del tipo $\frac{\to 0}{\to 0} $
Invece non sono d'accordo sul risultato, perché salvo errori mi risulta:
$ \lim_{x \to 0} (\int_{2x^3}^{3x^2} 5t*sin(t^3) dt)/(27x^10) \overset[H]{=} \lim_{x \to 0} (90x^3 sin(27x^6) - 60 x^5 sin(8x^9))/(270x^9) = 9 $
E' evidente che puoi usare la regola di de l'Hôpital perché chiaramente per $x \to 0 $ l'integrale a numeratore vale $0$, per cui hai proprio una forma indeterminata del tipo $\frac{\to 0}{\to 0} $
Invece non sono d'accordo sul risultato, perché salvo errori mi risulta:
$ \lim_{x \to 0} (\int_{2x^3}^{3x^2} 5t*sin(t^3) dt)/(27x^10) \overset[H]{=} \lim_{x \to 0} (90x^3 sin(27x^6) - 60 x^5 sin(8x^9))/(270x^9) = 9 $
[hl]Grazie mille! Troppo gentili![/hl] 
"CLaudio Nine":
Grazie mille! Troppo gentili!
Prego!
@SirDanielFortesque
"SirDanielFortesque":
Al terzo edit ho messo il comando overset per mettere DH sull'uguale. Non sapevo esistesse
Stai diventando bravo...
Però avrei anche tolto il DH dopo l'uguale...
Tieni conto che sono 2 lustri che uso [tex]\LaTeX[/tex] e ancora non mi sento di dire di conoscerlo bene...
"pilloeffe":
Stai diventando bravo...
Grazie.
Da quando ho scoperto il tasto cita ho iniziato a rubare il mestiere a voi utenti di lungo corso/over 1000.
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