Funzioni integrali
Salve ragazzi, ho un pò di dubbi su questo argomento. Se ho una funzione integrale del tipo
$F(x)=\int_a^xf(t)dt$
e mi viene chiesto se è convergente o meno, io studio la convergenza in a+ (ovvero faccio il limite e vedo cosa risulta). Se mi viene convergente, allora passo allo studio della F(x). Ma se la f(t) non è definita in un punto b compreso tra a e x, come mi devo comportare? Devo spezzare l'integrale in questo modo?
$F(x)=\int_a^bf(t)dt+\int_b^xf(t)dt$
E, se così fosse, per far sì che F(x) sia convergente dovranno essere convergenti tuti e due gli integrali?
Grazie per l'aiuto
$F(x)=\int_a^xf(t)dt$
e mi viene chiesto se è convergente o meno, io studio la convergenza in a+ (ovvero faccio il limite e vedo cosa risulta). Se mi viene convergente, allora passo allo studio della F(x). Ma se la f(t) non è definita in un punto b compreso tra a e x, come mi devo comportare? Devo spezzare l'integrale in questo modo?
$F(x)=\int_a^bf(t)dt+\int_b^xf(t)dt$
E, se così fosse, per far sì che F(x) sia convergente dovranno essere convergenti tuti e due gli integrali?
Grazie per l'aiuto
Risposte
sbaglio o hai cambiato il testo?
se ho capito bene tu chiedi la convergenza di un integrale improprio...
in generale occorre vedere se l'integrale improprio
tra a e +inf è convergente e questo lo si fa come hai detto cioè considerando a+ e poi +inf
se tra a e +inf c'è un punto b in cui la f non è definita occorre come hai detto spezzare l'integrale improprio come somma di due integrali da [a b] e [b +inf] ed entrambi devono essere convergenti
se ho capito bene tu chiedi la convergenza di un integrale improprio...
in generale occorre vedere se l'integrale improprio
tra a e +inf è convergente e questo lo si fa come hai detto cioè considerando a+ e poi +inf
se tra a e +inf c'è un punto b in cui la f non è definita occorre come hai detto spezzare l'integrale improprio come somma di due integrali da [a b] e [b +inf] ed entrambi devono essere convergenti
quote:
Originally posted by Piera
sbaglio o hai cambiato il testo?
Sì, scusa, avevo commesso degli errori ed ho cercato di correggerli il prima possibile.
sbaglio o hai cambiato il testo?
in generale occorre vedere se l'integrale improprio
tra a e +inf è convergente e questo lo si fa come hai detto cioè considerando a+ e poi +inf
se tra a e +inf c'è un punto b in cui la f non è definita occorre come hai detto spezzare l'integrale improprio come somma di due integrali da [a b] e [b +inf] ed entrambi devono essere convergenti
Ok, grazie. Quando invece c'è una funzione integrale come questa
$F(x)=\int_{-1}^x\frac{\arcsin(t+1)}{1+2t}dt$
si deve studiare la convergenza in -1 o non ha senso farlo dato che tanto non si conosce l'altro estremo di integrazione? Ovvero, in generale, nelle funzioni integrali è giusto dire che non si può parlare di convergenza o di divergenza dell'integrale proprio perchè non si conosce l'altro estremo di integrazione?
Ciao e grazie
scusa, ma il testo dell'esercizio cosa chiede?
va beh, provo a risponderti lo stesso,
su -1 la funzione è definita, infatti non presenta discontinuità
il denominatore si annulla in t=-1/2, essendo la funzione infinita di ordine 1 in t=-1/2, la funzione non è integrabile
quindi la funzione integrale è definita in -1 <= x < -1/2
spero di essere stato chiaro
ciao
va beh, provo a risponderti lo stesso,
su -1 la funzione è definita, infatti non presenta discontinuità
il denominatore si annulla in t=-1/2, essendo la funzione infinita di ordine 1 in t=-1/2, la funzione non è integrabile
quindi la funzione integrale è definita in -1 <= x < -1/2
spero di essere stato chiaro
ciao
quote:
Originally posted by Piera
scusa, ma il testo dell'esercizio cosa chiede?
Chiede l'insieme di definizione, gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di max/min locale di F(x). Avevo solo un dubbio se si potesse, in questo caso di funzione integrale, parlare di div. o di conv., ma credo proprio che non sarebbero determinabili, avendo un estremo incognito, giusto?
Ciao
no , scusa, non mi ero accorto che l'argomento dell' arcoseno fosse
t + 1..
allora, il primo passo da fare è trovare il dominio della funzione da integrare
in questo caso, dovendo essere -1 <= t +1 <= 1 (argomento arcsin), si ha -2 <= t <= 0 , inoltre il denominatore deve essere diverso da zero.
pertanto la funzione da integrare è definita su -2 <= t <= 0 con t diverso da -1/2
poi si deve vedere dove la funzione è integrabile su -2 <= t <= 0 con t diverso da -1/2
su -1 non ci sono problemi (la funzione è definita)
l'unico dubbio è su -1/2
essendo la funzione infinita di ordine 1 in t=-1/2, la funzione non è integrabile
quindi la x della funzione integrale può variare da [-2,-1/2)
cioè il dominio è -2 <= x < -1/2
osserva che se x fosse > di -1/2 ad esempio -1/4
si avrebbe int tra -1 e -1/4 f(t)dt
e la funzione integrale non sarebbe definita, poichè l'integrale improprio che ho scritto è divergente
t + 1..
allora, il primo passo da fare è trovare il dominio della funzione da integrare
in questo caso, dovendo essere -1 <= t +1 <= 1 (argomento arcsin), si ha -2 <= t <= 0 , inoltre il denominatore deve essere diverso da zero.
pertanto la funzione da integrare è definita su -2 <= t <= 0 con t diverso da -1/2
poi si deve vedere dove la funzione è integrabile su -2 <= t <= 0 con t diverso da -1/2
su -1 non ci sono problemi (la funzione è definita)
l'unico dubbio è su -1/2
essendo la funzione infinita di ordine 1 in t=-1/2, la funzione non è integrabile
quindi la x della funzione integrale può variare da [-2,-1/2)
cioè il dominio è -2 <= x < -1/2
osserva che se x fosse > di -1/2 ad esempio -1/4
si avrebbe int tra -1 e -1/4 f(t)dt
e la funzione integrale non sarebbe definita, poichè l'integrale improprio che ho scritto è divergente
quote:
Originally posted by Piera
no , scusa, non mi ero accorto che l'argomento dell' arcoseno fosse
t + 1..
allora, il primo passo da fare è trovare il dominio della funzione da integrare
Ok, mi hai chiarito un bel pò di cose sulla risoluzione di questi esercizi.
Grazie!
Ciao, scusate l'intromissione, ma..mi sapreste spiegare la faccenda "essendo la funzione infinita di ordine 1 in t=-1/2, la funzione non è integrabile" ;
Non mi è chiaro questo 'funzione infinita di ordine 1', e (quindi) neanche perché nn è integrabile lì...
Grazie
L.L
Non mi è chiaro questo 'funzione infinita di ordine 1', e (quindi) neanche perché nn è integrabile lì...
Grazie
L.L
al variare di x la funzione integrale identifica un integrale definito
quando x=-1/2 si ottiene un integrale improprio
int [-1 –1/2]f(t)dt
perché lim[t->-1/2-] f(t) = inf
per valutare integrali come questo c’è un criterio :
la funzione è integrabile in senso improprio
su [-1 –1/2] se per t->-1/2- la funzione è infinita di ordine alfa
minore di 1 ,ovvero
lim[t->-1/2] |t + ½| ^(alfa) * f(t) = L diverso da zero
con alfa < 1
se invece alfa >= 1 la f non è integrabile su [-1 –1/2]
nell’esercizio alfa =1 e la f non è integrabile
quando x=-1/2 si ottiene un integrale improprio
int [-1 –1/2]f(t)dt
perché lim[t->-1/2-] f(t) = inf
per valutare integrali come questo c’è un criterio :
la funzione è integrabile in senso improprio
su [-1 –1/2] se per t->-1/2- la funzione è infinita di ordine alfa
minore di 1 ,ovvero
lim[t->-1/2] |t + ½| ^(alfa) * f(t) = L diverso da zero
con alfa < 1
se invece alfa >= 1 la f non è integrabile su [-1 –1/2]
nell’esercizio alfa =1 e la f non è integrabile
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