Funzioni integrali

[cortix1]

Salve a tutti,
domani ho l'orale di analisi 1 e ripassando mi sono accorto di un passaggio sugli appunti (determinazione della soluzione particolare nelle edo lineari) che non riesco a giustificare:

$ e^-(int_(t_0)^(t) a(t) dt) *int_(t_0)^t f(x)e^(int_(x_0)^(x) a(s) ds)dx=int_(t_0)^t f(x)e^(int_(t)^(x) a(s) ds)dx $

Qualcuno riesci a spiegarmelo?
Grazie a tutti

[matteoorlandini]

Nota che:
$e^(-(int_(t_0)^(t) a(t) dt))=e^((int_(t)^(t_0) a(t) dt))$ e lo puoi portare dentro l'integrale perché è funzione di $t$ e non di $x$
Adesso dentro l'integrale hai:
$int_(t_0)^(t) f(x)e^(int_(t)^(t_0) a(t) dt)*e^(int_(x_0)^(x) a(s) ds)$
applichi la proprietà delle potenze con stessa base:
$int_(t_0)^(t) f(x)e^(int_(t)^(t_0) a(t) dt+int_(x_0)^(x) a(s) ds)$
$diamond $ponendo $s=t$ hai:
$int_(t_0)^(t) f(x)e^(int_(t)^(t_0) a(s) ds+int_(x_0)^(x) a(s) ds)$
se $t_0=x_0$ allora:
$int_(t_0)^(t) f(x)e^(int_(t)^(t_0) a(s) ds+int_(t_0)^(x) a(s) ds)$=$int_(t_0)^(t) f(x)e^(int_(t)^(x) a(s) ds)$

Gli ultimi due passaggi, da $diamond$ in poi, però mi sembrano forzate. Potrebbero mancare alcune ipotesi.