Funzioni integrabili secondo Lebesgue

[scricciolo83]

Ho una funzione [tex]f:[1,2] \rightarrow \mathbb{R}_+[/tex] integrabile secondo Lebesgue. Devo provare che [tex]x^nf[/tex] è integrabile secondo Lebesgue per ogni [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] e calcolare [tex]\lim_{n \to +\infty} \int_1^2 x^nf dx[/tex].

Qualcuno mi può seguire nel ragionamento e mi può dire se sbaglio in qualcosa? GRAZIE!

Allora [tex]\int_1^2 |f| dx < +\infty[/tex] per ipotesi. [tex]x^n[/tex] è una funzione di classe [tex]C^{\infty}[/tex] non negativa, quindi anche [tex]x^nf[/tex] è di classe [tex]C^{\infty}[/tex], è continua su [tex][1,2][/tex] che è un chiuso, l'integrale secondo Lebesgue coincide con quello secondo Riemann e quindi [tex]\int_1^2 x^nf dx < +\infty[/tex], quindi [tex]x^nf[/tex] è integrabile secondo Lebesgue.

Per il calcolo del limite, essendo [tex]x^nf \leq x^{n+1}f[/tex] quando [tex]n

Cita

Segnala

---

Risposte

dissonance

22 feb 2011, 16:28

"scricciolo83":Allora [tex]\int_1^2 |f| dx < +\infty[/tex] per ipotesi. [tex]x^n[/tex] è una funzione di classe [tex]C^{\infty}[/tex] non negativa, quindi anche [tex]x^nf[/tex] è di classe [tex]C^{\infty}[/tex]

Falso. $x^nf(x)$ non ha nessun obbligo di essere nemmeno continua. $f$ è una funzione integrabile, ma nessuno ha parlato di continuità o di derivabilità.

Cita

Segnala

---

scricciolo83

22 feb 2011, 16:31

va beh, ma se non è continua, lo sarà eccetto per un insieme di punti di misura nulla...

comunque, almeno mi puoi dare qualche indicazione su come risolverlo???

Cita

Segnala

---

dissonance

22 feb 2011, 16:36

Anche questo è falso. $f$ è integrabile secondo Lebesgue, non secondo Riemann, non ti confondere. Molto più semplicemente, considera questo integrale, che ha senso perché $x^nf(x)$ è una funzione misurabile:

$int_1^2|x^n f(x)| dx$

e dimostra che esso è finito.

Cita

Segnala

---

scricciolo83

22 feb 2011, 16:39

ma scusa, l'integrale secondo Lebesgue dovrebbe coincidere con quello di Riemann visto che siamo in un chiuso e limitato dei reali...

Cita

Segnala

---

dissonance

22 feb 2011, 17:33

Ma no, cosa sarebbe questo teorema? Prendi per esempio la funzione $chi_{Q nn [1, 2]}(x)={(1, x \in QQ),(0, x \notin QQ):},\ x \in [1, 2]$. Integrabile secondo Lebesgue in $[1, 2]$, non integrabile secondo Riemann. E questa funzione è discontinua in ogni punto di $[1, 2]$.

Stai facendo ricorso a strumenti eccessivamente sofisticati per una cosa molto più banale.

Cita

Segnala

---

gugo82

22 feb 2011, 19:43

Per quanto riguarda la sommabilità di [tex]$x^nf(x)$[/tex], disuguaglianza di Hölder ti dice nulla?

Per quanto riguarda il calcolo del limite, direi che senza ulteriori ipotesi su [tex]$f$[/tex] non ci sia nulla da fare... Ad esempio, se [tex]$f$[/tex] non è positiva, la disuguaglianza [tex]$x^n f(x)\leq x^{n+1} f(x)$[/tex] potrebbe non essere vera (quasi) ovunque in [tex]$[1,2]$[/tex].

Inoltre, noto che se una funzione è integrabile secondo Riemann allora essa è integrabile pure secondo Lebesgue ed i due integrali coincidono, ma non vale in generale il viceversa (vedi funzione di Dirichlet).

Cita

Segnala

---

scricciolo83

23 feb 2011, 15:35

Grazie, con i suggerimenti che mi hai dato sono riuscito a risolvere l'esercizio...

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[dissonance]

"scricciolo83":Allora [tex]\int_1^2 |f| dx < +\infty[/tex] per ipotesi. [tex]x^n[/tex] è una funzione di classe [tex]C^{\infty}[/tex] non negativa, quindi anche [tex]x^nf[/tex] è di classe [tex]C^{\infty}[/tex]

Falso. $x^nf(x)$ non ha nessun obbligo di essere nemmeno continua. $f$ è una funzione integrabile, ma nessuno ha parlato di continuità o di derivabilità.

[scricciolo83]

va beh, ma se non è continua, lo sarà eccetto per un insieme di punti di misura nulla...

comunque, almeno mi puoi dare qualche indicazione su come risolverlo???

[dissonance]

Anche questo è falso. $f$ è integrabile secondo Lebesgue, non secondo Riemann, non ti confondere. Molto più semplicemente, considera questo integrale, che ha senso perché $x^nf(x)$ è una funzione misurabile:

$int_1^2|x^n f(x)| dx$

e dimostra che esso è finito.

[scricciolo83]

ma scusa, l'integrale secondo Lebesgue dovrebbe coincidere con quello di Riemann visto che siamo in un chiuso e limitato dei reali...

[dissonance]

Ma no, cosa sarebbe questo teorema? Prendi per esempio la funzione $chi_{Q nn [1, 2]}(x)={(1, x \in QQ),(0, x \notin QQ):},\ x \in [1, 2]$. Integrabile secondo Lebesgue in $[1, 2]$, non integrabile secondo Riemann. E questa funzione è discontinua in ogni punto di $[1, 2]$.

Stai facendo ricorso a strumenti eccessivamente sofisticati per una cosa molto più banale.

[gugo82]

Per quanto riguarda la sommabilità di [tex]$x^nf(x)$[/tex], disuguaglianza di Hölder ti dice nulla?

Per quanto riguarda il calcolo del limite, direi che senza ulteriori ipotesi su [tex]$f$[/tex] non ci sia nulla da fare... Ad esempio, se [tex]$f$[/tex] non è positiva, la disuguaglianza [tex]$x^n f(x)\leq x^{n+1} f(x)$[/tex] potrebbe non essere vera (quasi) ovunque in [tex]$[1,2]$[/tex].

Inoltre, noto che se una funzione è integrabile secondo Riemann allora essa è integrabile pure secondo Lebesgue ed i due integrali coincidono, ma non vale in generale il viceversa (vedi funzione di Dirichlet).

[scricciolo83]

Grazie, con i suggerimenti che mi hai dato sono riuscito a risolvere l'esercizio...