Funzioni integrabili (con discontinuita')
Salve a tutti un "semplice" domanda:
il testo di analisi del Giusti (cap IV pg175 della III ed) dice si $ f $ una funzione continua eccetto che in un numero finito di punti, limitata e nulla al di fuori di un compatto. allora f e' integrabile.
e qui e' ok.
la dimostrazione comincia con: siano $ x_1
$ d = min { |(x_1-a)|, |x_2-x_1|, ..., |b-x_n|} $
e per $ epsilon > 0 $ e $ epsilon < d $ sia:
(eccoci al dubbio)
$J_h = [ x_h-epsilon/n, x_h+epsilon/n), h=1,2,3...,n$
per poi considerare l'insieme $ A = uu_(h=1)^n J_h $
e quindi la restrizione di $f$ alla chiusura di $[a,b) - A$ in modo da avere una funzione continua.
io mi chiedo perche' $epsilon/n$ (proprio diviso n!)
magari e' una cretinata ma alle volte ci si blocca 30-40 minuti su una fesseria assurda, poi io non seguo sempre questo testo e quindi sarà pure che non sono abituato al suo modo di esporre le cose. mahh
grazie
il testo di analisi del Giusti (cap IV pg175 della III ed) dice si $ f $ una funzione continua eccetto che in un numero finito di punti, limitata e nulla al di fuori di un compatto. allora f e' integrabile.
e qui e' ok.
la dimostrazione comincia con: siano $ x_1
$ d = min { |(x_1-a)|, |x_2-x_1|, ..., |b-x_n|} $
e per $ epsilon > 0 $ e $ epsilon < d $ sia:
(eccoci al dubbio)
$J_h = [ x_h-epsilon/n, x_h+epsilon/n), h=1,2,3...,n$
per poi considerare l'insieme $ A = uu_(h=1)^n J_h $
e quindi la restrizione di $f$ alla chiusura di $[a,b) - A$ in modo da avere una funzione continua.
io mi chiedo perche' $epsilon/n$ (proprio diviso n!)
magari e' una cretinata ma alle volte ci si blocca 30-40 minuti su una fesseria assurda, poi io non seguo sempre questo testo e quindi sarà pure che non sono abituato al suo modo di esporre le cose. mahh
grazie
Risposte
Di solito queste sono scelte "strumentali" e "di stile" che servono a far uscire qualche [tex]$\varepsilon$[/tex] "pulito" alla fine della dimostrazione...
L'unica cosa che mi viene da pensare è che, ad un certo punto della dimostrazione, si dovrà addizionare l'ampiezza [tex]$\tfrac{2\varepsilon}{n}$[/tex] (o la semiampiezza [tex]$\tfrac{\varepsilon}{n}$[/tex]) degli [tex]$n$[/tex] intervallini: in tal modo verrà fuori un [tex]$2\varepsilon$[/tex] (o un [tex]$\varepsilon$[/tex], a seconda del caso) che si potrà, ad esempio, mandare a zero senza troppe remore.
Diciamo che è più o meno lo stesso "uso strumentale" che fai di [tex]$\tfrac{\varepsilon}{2}$[/tex] quando dimostri che la somma di due successioni convergenti converge alla somma dei limiti.
L'unica cosa che mi viene da pensare è che, ad un certo punto della dimostrazione, si dovrà addizionare l'ampiezza [tex]$\tfrac{2\varepsilon}{n}$[/tex] (o la semiampiezza [tex]$\tfrac{\varepsilon}{n}$[/tex]) degli [tex]$n$[/tex] intervallini: in tal modo verrà fuori un [tex]$2\varepsilon$[/tex] (o un [tex]$\varepsilon$[/tex], a seconda del caso) che si potrà, ad esempio, mandare a zero senza troppe remore.
Diciamo che è più o meno lo stesso "uso strumentale" che fai di [tex]$\tfrac{\varepsilon}{2}$[/tex] quando dimostri che la somma di due successioni convergenti converge alla somma dei limiti.
grazie e scusami per la banalità, effettivamente rivedendola sotto questo punto di vista se ne va n nella sommatoria e rimane solo $ 2epsilon $ (ovvero l'ampiezza di ogni intervallino $J_h*n$.... vabbe' comunque mi torna.
un saluto
un saluto
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