Funzioni iniettive
Ciao a tutti, sono nuovo nel forum. Oggi ho iniziato le lezioni all'università. Mi sono iscritto alla facoltà di Matematica.
Finora sto capendo abbastanza, però c'è una dimostrazione che non so come fare. Qualcuno ha qualche idea? Ogni suggerimento è ben accetto
.
Grazie
Sia f: A-->B una funzione. Dimostrare che per ogni X⊆A si ha si ha X⊆f^-1(f(X)). Dimostrare che f è iniettiva se e solo se X=f^-1(f(X)) per ogni X⊆A.
Finora sto capendo abbastanza, però c'è una dimostrazione che non so come fare. Qualcuno ha qualche idea? Ogni suggerimento è ben accetto
.Grazie
Sia f: A-->B una funzione. Dimostrare che per ogni X⊆A si ha si ha X⊆f^-1(f(X)). Dimostrare che f è iniettiva se e solo se X=f^-1(f(X)) per ogni X⊆A.
Risposte
Prova a pensare alla definizione di immagine e controimmagine (o preimmagine) di una funzione.
In particolare, ricorda che dato $X \sube A$, definiamo:
$f(X) = \{b \in B | \exists x \in X t.c. f(x) = b \}$ l'immagine di $X$
Dato invece $Y \sube B$ definiamo
$f^(-1) (Y) = \{a \in A | f(a) \in Y \}$ la preimmagine di $Y$.
Dunque $f^(-1) (f(X)) = \{ a \in A | f(a) \in f(X) \}.$
Noi dobbiamo dimostrare che $X \sube f^(-1)(f(X))$: preso allora $x \in X$, mostriamo che $x \in f^(-1)(f(X))$,
ovvero per definizione questo significa che dobbiamo mostrare che...
In particolare, ricorda che dato $X \sube A$, definiamo:
$f(X) = \{b \in B | \exists x \in X t.c. f(x) = b \}$ l'immagine di $X$
Dato invece $Y \sube B$ definiamo
$f^(-1) (Y) = \{a \in A | f(a) \in Y \}$ la preimmagine di $Y$.
Dunque $f^(-1) (f(X)) = \{ a \in A | f(a) \in f(X) \}.$
Noi dobbiamo dimostrare che $X \sube f^(-1)(f(X))$: preso allora $x \in X$, mostriamo che $x \in f^(-1)(f(X))$,
ovvero per definizione questo significa che dobbiamo mostrare che...
Ciao, grazie mille per la tua risposta e anche per la tua disponibilità a chiarirmi meglio le definizioni di preimmagine e controimmagine. Penso di aver capito quello che hai scritto e quindi anche come completare la tua risposta. La dimostrazione che hai fatto tu però, se ho capito bene, riguarda solo la prima parte del quesito, giusto? (Dimostrare che per ogni X⊆A si ha si ha X⊆f^-1(f(X))
La seconda parte consiste nel dimostrare che $f$ è iniettiva se e solo se l'inclusione opposta vale.
Esatto, volevo chiedere se qualcuno aveva qualche idea anche in merito a come fare questa seconda parte
"dani.danielson":Certo che abbiamo qualche idea in merito, è un esercizio che abbiamo fatto tutti, e che dovresti fare anche tu. Come si dimostra un'equivalenza logica del tipo \(P\iff Q\)? Assumendo $P$ (\(f : A\to B\) è iniettiva) e mostrando $Q$ (\(\forall U\subseteq A.f^{-1}fU\subseteq U\)), e poi assumendo $Q$ e mostrando $P$.
Esatto, volevo chiedere se qualcuno aveva qualche idea anche in merito a come fare questa seconda parte
Oppure, assumendo \(\lnot P\) e mostrando \(\lnot Q\) (cosicché \(Q\Rightarrow P\)) e poi assumendo \(\lnot Q\) e mostrando \(\lnot P\) (cosicché \(P\Rightarrow Q\)).
Cosa è più conveniente fare qui?
"dani.danielson":
Ciao, grazie mille per la tua risposta e anche per la tua disponibilità a chiarirmi meglio le definizioni di preimmagine e controimmagine. Penso di aver capito quello che hai scritto e quindi anche come completare la tua risposta. La dimostrazione che hai fatto tu però, se ho capito bene, riguarda solo la prima parte del quesito, giusto? (Dimostrare che per ogni X⊆A si ha si ha X⊆f^-1(f(X))
Esattamente, che infatti è la prima domanda del testo che hai scritto
dani.danielson, ci tengo a dirti questa cosa:
non ti stiamo dando la soluzione esplicita dell'esercizio, per diversi motivi:
1) Perché la si trova tranquillamente facendo una ricerca su google
2) Come diceva anche megas, è un esercizio che tutti quelli che hanno seguito un corso di analisi 1 hanno fatto
3) Perché devi pensarci a come farlo, insomma ci devi sbattere la capoccia. Ovviamente puoi anche parlarne con qualche collega e vedere come farlo insieme (anzi studiare in gruppo è sempre molto consigliato)
4) Essendoti iscritto a matematica, la maggior parte degli esercizi sono così: prenditi il tuo tempo e prova a pensare ad una soluzione
non ti stiamo dando la soluzione esplicita dell'esercizio, per diversi motivi:
1) Perché la si trova tranquillamente facendo una ricerca su google
2) Come diceva anche megas, è un esercizio che tutti quelli che hanno seguito un corso di analisi 1 hanno fatto
3) Perché devi pensarci a come farlo, insomma ci devi sbattere la capoccia. Ovviamente puoi anche parlarne con qualche collega e vedere come farlo insieme (anzi studiare in gruppo è sempre molto consigliato)
4) Essendoti iscritto a matematica, la maggior parte degli esercizi sono così: prenditi il tuo tempo e prova a pensare ad una soluzione
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