Funzioni in più variabili
Una funzione $f(x,y)$ si dice di classe $C^1$ se esistono le derivate parziali prime e sono continue.
Mentre si dice di classe $C^k$ se esistono le derivate parziali k-esime e sono continue.
Se una funzione è di classe $C^2$ allora $f_x$ e $f_y$ sono funzioni continue.
Ma questo vale anche per le derivate miste?
Se una funzione è di classe $C^3$ per esempio allora è vero che $f_{x x}$ $f_{yy}$ e $f_{xy}$ sono continue?
Mentre si dice di classe $C^k$ se esistono le derivate parziali k-esime e sono continue.
Se una funzione è di classe $C^2$ allora $f_x$ e $f_y$ sono funzioni continue.
Ma questo vale anche per le derivate miste?
Se una funzione è di classe $C^3$ per esempio allora è vero che $f_{x x}$ $f_{yy}$ e $f_{xy}$ sono continue?
Risposte
Si.
Ciò per definizione di funzione di classe $C^p$ in un aperto e dal fatto che una funzione di classe $C^m$ è anche di classe $C^n$ quando $n<=m$.
Se la funzione è di classe $C^1$ allora è anche differenziabile.
Se la funzione è differenziabile è anche continua.
Se allora ho una derivata parziale dotata di derivate successive continue allora la prima derivata è differenziabile e allora anche continua.
Ciò per definizione di funzione di classe $C^p$ in un aperto e dal fatto che una funzione di classe $C^m$ è anche di classe $C^n$ quando $n<=m$.
Se la funzione è di classe $C^1$ allora è anche differenziabile.
Se la funzione è differenziabile è anche continua.
Se allora ho una derivata parziale dotata di derivate successive continue allora la prima derivata è differenziabile e allora anche continua.
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