Funzioni in due variabili differenziabilita' e continuita'
Ragazzi Volevo chiedere a voi circa la seguente cosa:
Nel caso di una funzione in una variabile la derivabilita' implica la continuita'
nel caso di una funzione in due variabili questo non e' piu' vero, giusto?
invece la differenziabilita' implica la derivabilita'
ma la differenziabilita' implica la continuita'?
Ad Esempio Ho La seguente Funzione:
$ f(x,y) = { (\frac{x^2y^3}{x^4 +y^4}) , (0) :} $
che vale 0 solo se (x,y) = (0,0) e quella frazione in tutti gli altri casi
Devo studiare la continuita', derivabilita' e differenziabilita' in (0,0)
Per La Derivabilita' ho considerato il limite del rapporto incrementale
per le due derivate parziali, che mi viene 0 in entrambi i casi, quindi la funzione e' derivabile in (0,0) giusto?
Per la differenziabilita' ho ragionato come segue:
Poiche' le derivate parziali sono costanti in (0,0) per il teorema del differenziale la funzione e' differenziabile in (0,0)
se e' differenziabile allora e' continua
pero' non ne sono molto convinto
Avevo provato a verificare la continuita' ma non riesco mediante la definizione di limite
Un Aiuto?
Purtroppo non ho ben capito come si calcolano i limiti di funzioni in due variabili, quindi a meno di applicare la definizione di limite non riesco
C'e' qualche metodo di calcolo?
Nel caso di una funzione in una variabile la derivabilita' implica la continuita'
nel caso di una funzione in due variabili questo non e' piu' vero, giusto?
invece la differenziabilita' implica la derivabilita'
ma la differenziabilita' implica la continuita'?
Ad Esempio Ho La seguente Funzione:
$ f(x,y) = { (\frac{x^2y^3}{x^4 +y^4}) , (0) :} $
che vale 0 solo se (x,y) = (0,0) e quella frazione in tutti gli altri casi
Devo studiare la continuita', derivabilita' e differenziabilita' in (0,0)
Per La Derivabilita' ho considerato il limite del rapporto incrementale
per le due derivate parziali, che mi viene 0 in entrambi i casi, quindi la funzione e' derivabile in (0,0) giusto?
Per la differenziabilita' ho ragionato come segue:
Poiche' le derivate parziali sono costanti in (0,0) per il teorema del differenziale la funzione e' differenziabile in (0,0)
se e' differenziabile allora e' continua
pero' non ne sono molto convinto
Avevo provato a verificare la continuita' ma non riesco mediante la definizione di limite
Un Aiuto?
Purtroppo non ho ben capito come si calcolano i limiti di funzioni in due variabili, quindi a meno di applicare la definizione di limite non riesco
C'e' qualche metodo di calcolo?
Risposte
La derivabilita' parziale, od anche in ogni direzione, non implica la continuita'. La differenziabilita' implica la derivabilita' in ogni direzione, e implica anche la continuita'.
ti Ringrazio e per la celere risposta
Mi Daresti una mano con l'esercizio sopra scritto?
Mi Daresti una mano con l'esercizio sopra scritto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo