Funzioni implicite Teorema di Dini
Salve a tutti. Avrei un problema con questo esercizio, intanto posto il testo e poi la mia risoluzione. Vorrei sapere se lo svolgimento è giusto o meno. Grazie mille in anticipo 
Dato il dominio piano $ D={(x,y)in RR^2 : 4e^-(xy)=(1-2x)y^2} $ si considerino i punti di $ D $ che hanno ascissa nulla, e si dimostri che nell'intorno di ciascuno di essi $ D $ è il grafico di una funzione del tipo $ y=g(x) $, e si studi (sempre in tale intorno) la crescenza e la decrescenza di g.
Io ho svolto l 'esercizio in questo modo.
Ho introdotto la funzione $ f(x,y)=(1-2x)y^2-4e^(-xy) $ che ha come dominio $ RR^2 $
Ho verificato l'esistenza della funzione $ y=g(x) $ dimostrando che $ f_y=2y(1-2x)+4xe^(-xy) $ è continua nello stesso dominio di $ f(x,y) $ cioè $ RR^2 $
Ho verificato che $ f_y(x,0)!= 0 $ $ AA x!= 0 $
Quindi deduco l'esistenza della mia funzione implicita $ y=g(x) $
A questo punto mi viene chiesto di studiare crescenza e decrescenza di g "in tale intorno". Con "tale intorno" mi chiede nell'intorno del punto $ P(x,0) $ ? Sotto questa mia ipotesi mi sono calcolato $ g'(x)=-(f_x(x,0))/(f_y(x,0))=0 $ cosa devo dedurre da questo risultato? ho sbagliato qualcosa? Grazie mille in anticipo
Dato il dominio piano $ D={(x,y)in RR^2 : 4e^-(xy)=(1-2x)y^2} $ si considerino i punti di $ D $ che hanno ascissa nulla, e si dimostri che nell'intorno di ciascuno di essi $ D $ è il grafico di una funzione del tipo $ y=g(x) $, e si studi (sempre in tale intorno) la crescenza e la decrescenza di g.
Io ho svolto l 'esercizio in questo modo.
Ho introdotto la funzione $ f(x,y)=(1-2x)y^2-4e^(-xy) $ che ha come dominio $ RR^2 $
Ho verificato l'esistenza della funzione $ y=g(x) $ dimostrando che $ f_y=2y(1-2x)+4xe^(-xy) $ è continua nello stesso dominio di $ f(x,y) $ cioè $ RR^2 $
Ho verificato che $ f_y(x,0)!= 0 $ $ AA x!= 0 $
Quindi deduco l'esistenza della mia funzione implicita $ y=g(x) $
A questo punto mi viene chiesto di studiare crescenza e decrescenza di g "in tale intorno". Con "tale intorno" mi chiede nell'intorno del punto $ P(x,0) $ ? Sotto questa mia ipotesi mi sono calcolato $ g'(x)=-(f_x(x,0))/(f_y(x,0))=0 $ cosa devo dedurre da questo risultato? ho sbagliato qualcosa? Grazie mille in anticipo
Risposte
Ma non si parla di punti di ascissa nulla? Cioè questi $(0,y)$? Anche perché se la tua funzione passasse per i punti della forma $(x,0)$ dalla definizione con cui parti dovresti avere $4=0$, non ti pare? Mentre se invece consideri i punti $(0,y)$ abbiamo $4=y^2$ da cui $y=\pm 2$ e quindi devi analizzare il comportamento nei due punti $(0,\pm 2)$.
Hai pienamente ragione. Che errore madornale! Continuando l'esercizio ho incontrato un altro problema tuttavia. Quando mi viene chiesto di studiare crescenza e decrescenza di $ g $ io calcolo $ g' $ attraverso la formula $ g'(x)=-f_x/f_y $ ma in che punto devo studiarla? perché se la calcolo nei punti $ (0,+-2) $ ottengo proprio il valore di $ g' $ che non mi fornisce alcuna informazione riguardo la crescenza e la decrescenza di g
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