Funzioni implicite dini

[john.78]

ciao a tutti...queste vacanze sono dedicate interamente all analisi II come fare per capire se l’equazione $y^2 + 3xy^2 + x^3y − 5y^3 + 2x = 0$ definisce implicitamente in un intorno del punto $(0,0)$ una funzione del tipo $y = f(x)$ oppure del tipo $x = f(y)$?

[cooper1]

devi verificare le ipotesi del teorema del Dini, ovvero che:
1. $ F(x_0, y_0)=0 $
2. $ F_y(x_0, y_0)!=0 $ se vuoi la y in funzione della x oppure viceversa $ F_x(x_0, y_0)!=0 $ se vuoi la in funzione della y.
in particolare qui $ (x_0, y_0)=(0,0) $ $ F(x,y)= y^2 + 3xy^2 + x^3y − 5y^3 + 2x = 0 $

la F deve essere anche almeno di classe $ C^1 $

[pigrecoedition]

E che ci vuole, basta applicare la teoria delle funzioni implicite

[john.78]

intanto grazie, conosco le condizioni da verificare, in questo caso l esercizio chiede di stabilire se l equazione definisce una funzione del tipo $y = f(x)$ oppure del tipo $x = f(y)$ come faccio? entrambe le derivate prime sono $!=0$ ed essendo un polinomio è di classe $c^k$ giusto? quindi dove sta la differenza?

[cooper1]

ah scusa ho male interpretato la domanda! hai sbagliato i calcoli mi sa..
$ F_y=2y+6xy+x^3-15y^2|_(0,0)=0 $ quindi si ha la x in funzione della y

[john.78]

si ho sbagliato i calcoli ora ci siamo è $x = f(y)$
grazie $1000!$

[cooper1]

figurati!