Funzioni implicite: aiuto!
Salve a tutti ho una domanda "intrigante" che mi assilla da qualche giorno da porvi:
Il teorema del Dini (o della funzione implicita) afferma che data una $F(x,y)$ di classe $C1(A)$ con $A$ aperto di $R^2$ e preso $(x0,y0)$ in $A$
Se $F(x0,y0) = 0$ e $Fy(x0,y0) != 0$
allora F definisce implicitamente un funzione $f(x)$ tale che $F(x,f(x))=0$ per ogni $x$ in un intorno di $(x0,y0)$.
e che $f(x)$ è derivabile e $f'(x) = - (Fx(x,f(x)))/(Fy(x,f(x)))$
Ed ora il paradosso:
Se $F(x,f(x))=0$ in un intorno di $(x0,y0)$ allora il gradiente in quell'intorno deve essere nullo per la caratterizzazione di funzioni con gradiente nullo in un aperto. Ma ciò contrasta con l'ipotesi che $Fy(x0,y0) != 0$!!!
Il teorema del Dini (o della funzione implicita) afferma che data una $F(x,y)$ di classe $C1(A)$ con $A$ aperto di $R^2$ e preso $(x0,y0)$ in $A$
Se $F(x0,y0) = 0$ e $Fy(x0,y0) != 0$
allora F definisce implicitamente un funzione $f(x)$ tale che $F(x,f(x))=0$ per ogni $x$ in un intorno di $(x0,y0)$.
e che $f(x)$ è derivabile e $f'(x) = - (Fx(x,f(x)))/(Fy(x,f(x)))$
Ed ora il paradosso:
Se $F(x,f(x))=0$ in un intorno di $(x0,y0)$ allora il gradiente in quell'intorno deve essere nullo per la caratterizzazione di funzioni con gradiente nullo in un aperto. Ma ciò contrasta con l'ipotesi che $Fy(x0,y0) != 0$!!!
Risposte
Non è zero il gradiente, è zero la derivata totale di $F(x,f(x))$ rispetto a $x$.
Giusto, ci stavo riflettendo! e quindi per trovare i punti di massimo o minimo di $f(x)$ come mi consigli di procedere?
Perchè io sfruttavo il fatto che $Fx(x,f(x))$ fosse uguale a $0$ e quindi calcolando tale derivata mi riducevo ad avere un espressione del tipo $Fx(x0,f(x0)) = f'(x0) + ...=0$ e quindi sapendo che $f(x0)=y0$ trovo un valore di $f'(x0)$. Se tale valore è uguale a $0$ vado a fare analogo ragionamento per $Fx x(x0,f(x0))$ per determinare se $x0$ è massimo o minimo. Ma penso sia sbagliato perchè la condizione $Fx(x,f(x))=0 e Fx x(x,f(x))=0$ non la garantisce nulla.
Perchè io sfruttavo il fatto che $Fx(x,f(x))$ fosse uguale a $0$ e quindi calcolando tale derivata mi riducevo ad avere un espressione del tipo $Fx(x0,f(x0)) = f'(x0) + ...=0$ e quindi sapendo che $f(x0)=y0$ trovo un valore di $f'(x0)$. Se tale valore è uguale a $0$ vado a fare analogo ragionamento per $Fx x(x0,f(x0))$ per determinare se $x0$ è massimo o minimo. Ma penso sia sbagliato perchè la condizione $Fx(x,f(x))=0 e Fx x(x,f(x))=0$ non la garantisce nulla.
c'è qualcuno che mi risponde???
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