Funzioni implicite
ciao!
piccolo problema
$ x in ( RR )^(n) $ $ y in ( RR )^(m) $
f di classe $ (C)^(1) $ definita in un aperto $ A in (( RR )^(n) xx ( RR )^(m)) $ . $ (x',y') in A $ .
$ A' sub A $ , $ A'' sub A $ aperti di x' e y'
f(x',y')=0 e $ (del f(x',y'))/(del y) $ invertibile
g di classe $ (C)^(1) $ definita $ A' -> A'' $
g(x)=y f(x,g(x))=0 per ogni $ x in A' $
si può applicare il teorema di derivazione della funzione composta e calcolare la derivata di g in x'.
Ma non mi sembra di avere abbastanza informazioni! Non ho la derivata di f composto g e questa non è la derivata di f, quindi...da dove ricavo la derivata di g?
PS spero che si capisca tutto
piccolo problema
$ x in ( RR )^(n) $ $ y in ( RR )^(m) $
f di classe $ (C)^(1) $ definita in un aperto $ A in (( RR )^(n) xx ( RR )^(m)) $ . $ (x',y') in A $ .
$ A' sub A $ , $ A'' sub A $ aperti di x' e y'
f(x',y')=0 e $ (del f(x',y'))/(del y) $ invertibile
g di classe $ (C)^(1) $ definita $ A' -> A'' $
g(x)=y f(x,g(x))=0 per ogni $ x in A' $
si può applicare il teorema di derivazione della funzione composta e calcolare la derivata di g in x'.
Ma non mi sembra di avere abbastanza informazioni! Non ho la derivata di f composto g e questa non è la derivata di f, quindi...da dove ricavo la derivata di g?
PS spero che si capisca tutto
Risposte
In realtà è un po' confuso, comunque tu sai che $g(x)=y$, pertanto dovrebbe anche essere $g(x')=y'$, e dalle condizioni di derivabilità dovresti riuscire a concludere.
Allora, io ho il teorema del Dini. Con quelle ipotesi e tesi, con f(x,g(x)) =0 per ogni $ x in A' $ devo calcolare la derivata di g in x', cioè spiegare come si può calcolare. Però non ho capito...
Prova a calcolare la derivata di $f$ rispetto ad $x$ (attento/a ad usare la chain rule). Da questa formula dovresti riuscire a capire quanto vale $g'$.
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