Funzioni Implicite
Salve, ho dei problemi a svolgere questi 2 esercizi:
1)$F(x,y) = y+y^6+x^2*sqrt(x^2+1) = 0$;
2)$F(x,y) = y^5+y-x*e^x = 0$.
Ora, nell'esercizio 1, mi viene chiesto di usare il teorema di Dini Locale in un intorno dell'origine, e poi verificare che il punto x=0 è un punto di minimo relativo.
Di conseguenza, ho riscritto la F(x,y) come F(x,f(x)), e, derivando e sostituendo x=0 e f(0)=0, ho ottenuto $f'(0)=0$, cioè che x=0 è un estremo, la cui natura va esplicatata studiando la $f''(0)$, verificando che sia maggiore di 0. Facendo i calcoli e ricontrollandoli, ho visto che la $f''(0)=0$, di conseguenza non so come procedere.
Nell'esercizio 2, invece, mi viene chiesto di determinare una f(x) definita su tutto $R$ (ovvero mi chiede di usare il teorema di Dini Globale), e di verificare queste 3 cose:
a)$x*f(x)>0 $per ogni x appartenente a $R-{0}$;
b)f(0) = 0;
c)trovare i punti critici di f(x).
Ho verificato che il $lim(x->-oo) (F(x,y)) = -oo$ e $lim(x->+oo) (F(x,y)) = +oo$ e che la Fy > 0 fissato x.
Non so, però, come risolvere i punti a,b,c.
Ringrazio chiunque voglia aiutarmi
1)$F(x,y) = y+y^6+x^2*sqrt(x^2+1) = 0$;
2)$F(x,y) = y^5+y-x*e^x = 0$.
Ora, nell'esercizio 1, mi viene chiesto di usare il teorema di Dini Locale in un intorno dell'origine, e poi verificare che il punto x=0 è un punto di minimo relativo.
Di conseguenza, ho riscritto la F(x,y) come F(x,f(x)), e, derivando e sostituendo x=0 e f(0)=0, ho ottenuto $f'(0)=0$, cioè che x=0 è un estremo, la cui natura va esplicatata studiando la $f''(0)$, verificando che sia maggiore di 0. Facendo i calcoli e ricontrollandoli, ho visto che la $f''(0)=0$, di conseguenza non so come procedere.
Nell'esercizio 2, invece, mi viene chiesto di determinare una f(x) definita su tutto $R$ (ovvero mi chiede di usare il teorema di Dini Globale), e di verificare queste 3 cose:
a)$x*f(x)>0 $per ogni x appartenente a $R-{0}$;
b)f(0) = 0;
c)trovare i punti critici di f(x).
Ho verificato che il $lim(x->-oo) (F(x,y)) = -oo$ e $lim(x->+oo) (F(x,y)) = +oo$ e che la Fy > 0 fissato x.
Non so, però, come risolvere i punti a,b,c.
Ringrazio chiunque voglia aiutarmi
Risposte
sicuro di aver scritto bene la consegna? non capisco come puoi "usare" dini con una funzione
"enr87":
sicuro di aver scritto bene la consegna? non capisco come puoi "usare" dini con una funzione
scusami, non ho ben capito cosa intendi
il teorema di dini lo usi per vedere se un'equazione definisce implicitamente una funzione nell'intorno di un certo punto. lì non vedo equazioni, ma funzioni.
"enr87":
il teorema di dini lo usi per vedere se un'equazione definisce implicitamente una funzione nell'intorno di un certo punto. lì non vedo equazioni, ma funzioni.
sì, hai ragione, ora correggo...le due F(x,y) sono entrambe poste uguale a 0.
intendevi questo, giusto?
allora la consegna chiede di vedere se è definita implicitamente una funzione da quelle equazioni.. un'altra cosa: x=0 si intende di minimo per la funzione implicita, giusto?
ti posso aiutare solo per il primo perchè l'altro teorema di dini (globale) non l'ho trattato nel corso di analisi 2 che ho fatto. innanzitutto, come hai fatto a determinare f(x)? dini ti dà un modo per determinare f'(x), scrivi i passaggi che fai
ti posso aiutare solo per il primo perchè l'altro teorema di dini (globale) non l'ho trattato nel corso di analisi 2 che ho fatto. innanzitutto, come hai fatto a determinare f(x)? dini ti dà un modo per determinare f'(x), scrivi i passaggi che fai
Ti mostro un modo diretto per il problema 1 - invece di usare la derivata seconda si può tentare di mostrare che $f'(x)>0$ per le $x<0$ vicine a $0$ e $f'(x)<0$ per le $x>0$ vicine a $0$.
Questo dovrebbe uscire dall'analisi del segno di $f'(x)=-\frac{\frac{\partial}{\partial x}F(x,f(x))}{\frac{\partial}{\partial y}F(x,f(x)}$ per $x$ vicino a zero (calcolando esplicitamente le derivate parziali).
Questo dovrebbe uscire dall'analisi del segno di $f'(x)=-\frac{\frac{\partial}{\partial x}F(x,f(x))}{\frac{\partial}{\partial y}F(x,f(x)}$ per $x$ vicino a zero (calcolando esplicitamente le derivate parziali).
"enr87":
allora la consegna chiede di vedere se è definita implicitamente una funzione da quelle equazioni.. un'altra cosa: x=0 si intende di minimo per la funzione implicita, giusto?
ti posso aiutare solo per il primo perchè l'altro teorema di dini (globale) non l'ho trattato nel corso di analisi 2 che ho fatto. innanzitutto, come hai fatto a determinare f(x)? dini ti dà un modo per determinare f'(x), scrivi i passaggi che fai
ok, grazie
allora, il minimo si intende per la f definita implicitamente dalla F; per la f(x) non l'ho determinata, perchè il teorema di dini locale ti permette, a patto che la derivata parziale della F rispetto a y (o, dualmente, il concetto è valido anche per quella rispetto a x) sia diversa da 0 nel punto (x0,y0) in cui si annulla la F, di avere che la derivata prima della f può essere espressa in questo modo:
$f'(x) = - (Fx(x,f(x)))/(Fy(x,f(x))$
permettendo di scrivere la y in funzione della x, ma non dà "indicazioni" su come trovare la f(x).
Per determinare la derivata prima faccio praticamente così, come ho visto a lezione:
praticamente si prende l'equazione data, e si scrive y in funzione di x, ovvero si ha:
$F(x,f(x))=f(x)+[f(x)]^6+x^2sqrt(x^2+1)=0$
dopodichè si deriva tutto rispetto a x, si ha:
$f'(x)+6[f(x)]^5+2xsqrt(x^2+1)+x^3/sqrt(1+x^2)$
e, poichè il teorema è "localizzato" in un intorno dell'origine, sempre per il teorema di dini, si sà che $f(x0)=y0$, ovvero $f(0)=0$, e sostituendo rimane:
$f'(0)=0$, ovvero che effettivamente in 0 la f definita implicitamente possiede un estremo, di cui va "studiata" la natura, e pertanto si vede la derivata seconda, che deve essere maggiore di 0 perchè il punto x = 0 deve essere un minimo.
Derivando ulteriormente rispetto a x, si avrà:
$f''(x)+30[f(x)]^4+(2sqrt(x^2+1)*(2x/sqrt(1+x^2)*2x))+(3x^2sqrt(1+x^2)-x^4)/(x^2+1)^(3/2)$
a questo punto, ricordando che $f(0)=0$, $f'(0)=0$, sostituendo si avrà $f''(0)=0$, mentre dovrebbe essere $f'(0)=q$, con q non negativo.
scusatemi per tutti questi calcoli ed eventuali sproloqui
"guybrush1989":
$F(x,f(x))=f(x)+[f(x)]^6+x^2sqrt(x^2+1)=0$
dopodichè si deriva tutto rispetto a x, si ha:
$f'(x)+6[f(x)]^5+2xsqrt(x^2+1)+x^3/sqrt(1+x^2)$
qui c'è un errore (che tra l'altro compromette la successiva derivata seconda). In realtà viene
$f'(x)+6[f(x)]^5 f'(x)+2xsqrt(x^2+1)+x^3/sqrt(1+x^2)=0$
da cui
$f'(x)=-\frac{2xsqrt(x^2+1)+x^3/sqrt(1+x^2)}{1+6f(x)^5}=-\frac{2x(x^2+1)+x^3}{(1+6f(x)^5)\sqrt(1+x^2)}=-x\frac{3x^2+2}{(1+6f(x)^5)\sqrt(1+x^2)}$.
Guardando la formula sopra vedi in effetti che $f'(0)=0$,; vedi anche che il fattore che segue $-x$ tende a $2$ quando $x$ tende a zero (perché $f(x)\to0$).
Quindi per $x$ vicino a zero il segno di
$f'(x)$ coincide con il segno di $-x$: se le cose stanno così $0$ è di massimo relativo (senza guardare la derivata seconda).
Se comunque si vuole $f''$ deriviamo di nuovo:
$f''(x)+30[f(x)]^4 f'(x)^2+6f(x)^5f''(x)+2sqrt(x^2+1)+2x^2/sqrt(1+x^2)+ \frac{3x^2\sqrt{1+x^2}-x^3 \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} =0$
mettendo $x=0$ otteniamo (usando $f(0)=f'(0)=0$)
$f''(0)+2=0$
da cui $f''(0)=-2$ -> MASSIMO.
Forse si è perso un segno da qualche parte (nella trascrizione dell'esercizio ?) o forse il testo era errato. Ho forse ho sbagliato anche io da qualche parte.
"ViciousGoblin":
[quote="guybrush1989"]
$F(x,f(x))=f(x)+[f(x)]^6+x^2sqrt(x^2+1)=0$
dopodichè si deriva tutto rispetto a x, si ha:
$f'(x)+6[f(x)]^5+2xsqrt(x^2+1)+x^3/sqrt(1+x^2)$
qui c'è un errore (che tra l'altro compromette la successiva derivata seconda). In realtà viene
$f'(x)+6[f(x)]^5 f'(x)+2xsqrt(x^2+1)+x^3/sqrt(1+x^2)=0$
da cui
$f'(x)=-\frac{2xsqrt(x^2+1)+x^3/sqrt(1+x^2)}{1+6f(x)^5}=-\frac{2x(x^2+1)+x^3}{(1+6f(x)^5)\sqrt(1+x^2)}=-x\frac{3x^2+2}{(1+6f(x)^5)\sqrt(1+x^2)}$.
Guardando la formula sopra vedi in effetti che $f'(0)=0$,; vedi anche che il fattore che segue $-x$ tende a $2$ quando $x$ tende a zero (perché $f(x)\to0$).
Quindi per $x$ vicino a zero il segno di
$f'(x)$ coincide con il segno di $-x$: se le cose stanno così $0$ è di massimo relativo (senza guardare la derivata seconda).
Se comunque si vuole $f''$ deriviamo di nuovo:
$f''(x)+30[f(x)]^4 f'(x)^2+6f(x)^5f''(x)+2sqrt(x^2+1)+2x^2/sqrt(1+x^2)+ \frac{3x^2\sqrt{1+x^2}-x^3 \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} =0$
mettendo $x=0$ otteniamo (usando $f(0)=f'(0)=0$)
$f''(0)+2=0$
da cui $f''(0)=-2$ -> MASSIMO.
Forse si è perso un segno da qualche parte (nella trascrizione dell'esercizio ?) o forse il testo era errato. Ho forse ho sbagliato anche io da qualche parte.[/quote]
ho ricontrollato i tuoi calcoli e mi trovo, evidentemetne sarà stato un errore del docente nel dire la natura dell'estremo per la funzione.
ti ringrazio molto per l'aiuto datomi, e per il tempo che t'ho sottratto nel fare tutti questi calcoli
spero che qualcuno possa applicarmi nell'esercizio del dini GLOBALE, per il quale non sono tuttora riuscito a decidere nulla sul da farsi
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