Funzioni implicite
Ciao, ho dei problemi nell'affrontare questi 2 esercizi; potete darmi una mano con dettaglio? Grazie anticipate. Elia
Si considerino le due equazioni:
x = u^3 + v^3
y = uv − v^2
Si calcolino le derivate parziali prime delle due funzioni, definite in modo
implicito, u = u(x, y) , v = v(x, y), nel punto dove u(x, y) = v(x, y) = 1 e il
loro Jacobiano.
Vicino a quali punti (r, s) la trasformazione
x = r^2 + 2s , y = s^2 − 2r
può essere risolta rispetto a r ed s come funzioni di x e y. Se possibile, si
calcolino le derivate parziali prime ((∂r)/(∂x)) e ((∂s)/(∂x)) in (x, y) = (0, 0).
Si considerino le due equazioni:
x = u^3 + v^3
y = uv − v^2
Si calcolino le derivate parziali prime delle due funzioni, definite in modo
implicito, u = u(x, y) , v = v(x, y), nel punto dove u(x, y) = v(x, y) = 1 e il
loro Jacobiano.
Vicino a quali punti (r, s) la trasformazione
x = r^2 + 2s , y = s^2 − 2r
può essere risolta rispetto a r ed s come funzioni di x e y. Se possibile, si
calcolino le derivate parziali prime ((∂r)/(∂x)) e ((∂s)/(∂x)) in (x, y) = (0, 0).
Risposte
La trasformazione diretta associa a (u , v) -> (x,y) secondo l'equazione che hai scritto, puoi pensarla così
$ \{ ( x = f_1 (u,v) ) , ( y = f_2 (u,v) ) :}$
Poi calcoli la matrice Jacobiana della trasformazione diretta
$J(u,v) = (( \partial_u x , \partial_u y ) , ( \partial_v x , \partial_v y )) = ( ( \partial_u f_1 , \partial_u f_2 ) , ( \partial_v f_1 , \partial_v f_2 ) )$
poi la calcoli nel punto (u,v)=(u_0, v_0)=(1,1) e otterrai una matrice di numeri
$ J(u_0,v_0) = ( (a,b) , (c,d) ) $
se il determinante è diverso da 0 allora localmente, cioè in un intorno di (u,v)=(1,1), la trasformazione è invertibile. Se lo è potrai scrivere, almeno localmente, la trasformazione inversa come
$ \{ ( u = g_1 (x,y) ) , ( v = g_2 (x,y) ) :}$
(questo non vuol dire che tu lo debba calcolare esplicitemente con le formule, anche perchè spesso non è possibile, però sappiamo che la trasformazione inversa ha questa forma) anche questa avrà la sua matrice Jacobiana, che sarà
$I(x,y) = (( \partial_x u , \partial_x v ) , ( \partial_y u , \partial_y v )) = ( ( \partial_x g_1 , \partial_x g_2 ) , ( \partial_y g_1 , \partial_y g_2 ) )$
un teorema dell'analisi vettoriale ci dice che preso un punto $(x_0, y_0)$, immagine di $(u_0, v_0)$ tramite la trasformazione diretta, la matrice Jacobiana della trasformazione inversa si calcola così
$ I( x_0 , y_0 ) = [ J(u_0, v_0) ]^(-1) = ( (\alpha,\beta) , (\gamma,\delta) )$
cioè una matrice di numeri. Adesso per rispondere alla domanda non devi fare altro che ricordare la definizione di I(x,y) ovvero
$ I(x,y) ]_((x_0,y_0)) = (( \partial_x u , \partial_x v ) , ( \partial_y u , \partial_y v )) ]_((x_0,y_0)) = ( (\alpha,\beta) , (\gamma,\delta) )$
e poter trovare le grandezze di interesse cioè
$ \{ (\frac{\partial u}{\partial x} (x_0,y_0)=\alpha) , (\frac{\partial u}{\partial y} (x_0,y_0)=\gamma) :}$
$ \{ (\frac{\partial v}{\partial x} (x_0,y_0) =\beta), (\frac{\partial v}{\partial y} (x_0,y_0) =\delta) :}$
Il metodo è questo. In sostanza si tratta di fare 4 derivate e poi calcolarle in (u,v) = (1,1) che si trasforma tramite F in (x,y) = (2,0). Metterle in matrice e invertire la matrice. Vedi se ti torna...nel caso chiedi pure
$ \{ ( x = f_1 (u,v) ) , ( y = f_2 (u,v) ) :}$
Poi calcoli la matrice Jacobiana della trasformazione diretta
$J(u,v) = (( \partial_u x , \partial_u y ) , ( \partial_v x , \partial_v y )) = ( ( \partial_u f_1 , \partial_u f_2 ) , ( \partial_v f_1 , \partial_v f_2 ) )$
poi la calcoli nel punto (u,v)=(u_0, v_0)=(1,1) e otterrai una matrice di numeri
$ J(u_0,v_0) = ( (a,b) , (c,d) ) $
se il determinante è diverso da 0 allora localmente, cioè in un intorno di (u,v)=(1,1), la trasformazione è invertibile. Se lo è potrai scrivere, almeno localmente, la trasformazione inversa come
$ \{ ( u = g_1 (x,y) ) , ( v = g_2 (x,y) ) :}$
(questo non vuol dire che tu lo debba calcolare esplicitemente con le formule, anche perchè spesso non è possibile, però sappiamo che la trasformazione inversa ha questa forma) anche questa avrà la sua matrice Jacobiana, che sarà
$I(x,y) = (( \partial_x u , \partial_x v ) , ( \partial_y u , \partial_y v )) = ( ( \partial_x g_1 , \partial_x g_2 ) , ( \partial_y g_1 , \partial_y g_2 ) )$
un teorema dell'analisi vettoriale ci dice che preso un punto $(x_0, y_0)$, immagine di $(u_0, v_0)$ tramite la trasformazione diretta, la matrice Jacobiana della trasformazione inversa si calcola così
$ I( x_0 , y_0 ) = [ J(u_0, v_0) ]^(-1) = ( (\alpha,\beta) , (\gamma,\delta) )$
cioè una matrice di numeri. Adesso per rispondere alla domanda non devi fare altro che ricordare la definizione di I(x,y) ovvero
$ I(x,y) ]_((x_0,y_0)) = (( \partial_x u , \partial_x v ) , ( \partial_y u , \partial_y v )) ]_((x_0,y_0)) = ( (\alpha,\beta) , (\gamma,\delta) )$
e poter trovare le grandezze di interesse cioè
$ \{ (\frac{\partial u}{\partial x} (x_0,y_0)=\alpha) , (\frac{\partial u}{\partial y} (x_0,y_0)=\gamma) :}$
$ \{ (\frac{\partial v}{\partial x} (x_0,y_0) =\beta), (\frac{\partial v}{\partial y} (x_0,y_0) =\delta) :}$
Il metodo è questo. In sostanza si tratta di fare 4 derivate e poi calcolarle in (u,v) = (1,1) che si trasforma tramite F in (x,y) = (2,0). Metterle in matrice e invertire la matrice. Vedi se ti torna...nel caso chiedi pure
Grazie alle.fabbri, sei stato molto gentile e chiaro. Buona giornata!
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