Funzioni implicite
ciao a tutti, ho appena iniziato a studiare le funzioni implicite ma non riesco a venire a capo di alcuni problemi. ho il seguente esercizio:
"verificare che l'insieme $ E={(x,y)in RR : y^3log(1+2x)+e^(xy)=0} $ coincide con il grafico di una funzione y=y(x). determinarne l'insieme di definizione e tracciarne un grafico qualitativo (eventuali max/min limiti alla frontiera del dominio, intervalli di monotonia)"
allora: in prima battuta osservo che la funzione per esistere deve avere la $x>-1/2$. determino quidni che una tale funzione y esiste ed è unica. per farlo calcolo i limiti di $F(x,y) y^3log(1+2x)+e^(xy)=0$ per $ y->+-oo $ trovando che la F vale $+-oo$. la tale funzione (per il teorema degli zeri) esiste. per provarne ora l'unicità calcolo la derivata di F rispetto alla variabile y. trovo che $ F_y<0 $ per x<0 mentre è strettamente positiva se la x>0. se invece x=0 la derivata è nulla per cui per il teorema del Dini posso concludere che in quel punto non ho y=y(x). negli altri casi invece data la stretta monotonia posso concludere che la y è unica.
deduco allora che l'insieme di definizione della y è $ (-1/2,0)\cup(0,+oo) $ .
in questo insieme (sfruttando il dini estendendolo ad ogni punto del dominio) trovo la derivata prima delle y. $ y'=-(2y^3+y(1+2x)e^(xy))/((1+2x)[3y^2log(1+2x)+xe^(xy)]) $ . ora però non so più come continuare perchè nello studio della derivata ho anche la dipendenza da y che non so come trattare (non dovrebbe dipendere solo da x?).
il procedimento seguito all'inizio è corretto? l'insieme di definizione è effettivamente quello che ho individuato io? grazie in anticipo a tutti.
"verificare che l'insieme $ E={(x,y)in RR : y^3log(1+2x)+e^(xy)=0} $ coincide con il grafico di una funzione y=y(x). determinarne l'insieme di definizione e tracciarne un grafico qualitativo (eventuali max/min limiti alla frontiera del dominio, intervalli di monotonia)"
allora: in prima battuta osservo che la funzione per esistere deve avere la $x>-1/2$. determino quidni che una tale funzione y esiste ed è unica. per farlo calcolo i limiti di $F(x,y) y^3log(1+2x)+e^(xy)=0$ per $ y->+-oo $ trovando che la F vale $+-oo$. la tale funzione (per il teorema degli zeri) esiste. per provarne ora l'unicità calcolo la derivata di F rispetto alla variabile y. trovo che $ F_y<0 $ per x<0 mentre è strettamente positiva se la x>0. se invece x=0 la derivata è nulla per cui per il teorema del Dini posso concludere che in quel punto non ho y=y(x). negli altri casi invece data la stretta monotonia posso concludere che la y è unica.
deduco allora che l'insieme di definizione della y è $ (-1/2,0)\cup(0,+oo) $ .
in questo insieme (sfruttando il dini estendendolo ad ogni punto del dominio) trovo la derivata prima delle y. $ y'=-(2y^3+y(1+2x)e^(xy))/((1+2x)[3y^2log(1+2x)+xe^(xy)]) $ . ora però non so più come continuare perchè nello studio della derivata ho anche la dipendenza da y che non so come trattare (non dovrebbe dipendere solo da x?).
il procedimento seguito all'inizio è corretto? l'insieme di definizione è effettivamente quello che ho individuato io? grazie in anticipo a tutti.
Risposte
Per quanto riguarda la crescenza e la decrescenza, puoi sicuramente utilizzare le seguenti proprietà:
$[-1/2 lt x lt 0] rarr [y gt 0] ^^ [x gt 0] rarr [y lt 0]$
Per quanto riguarda i limiti, si dovrebbe avere:
$[lim_(x->(-1/2)^+)y(x)=+oo] ^^ [lim_(x->0^-)y(x)=+oo] ^^ [lim_(x->0^+)y(x)=-oo] ^^ [lim_(x->+oo)y(x)=0]$
$[-1/2 lt x lt 0] rarr [y gt 0] ^^ [x gt 0] rarr [y lt 0]$
Per quanto riguarda i limiti, si dovrebbe avere:
$[lim_(x->(-1/2)^+)y(x)=+oo] ^^ [lim_(x->0^-)y(x)=+oo] ^^ [lim_(x->0^+)y(x)=-oo] ^^ [lim_(x->+oo)y(x)=0]$
ciao. anzitutto ti ringrazio per la risposta. scusami ma continuo a non capire.
come mai riesco ad affermare (in modo certo) che se $ x in(-1/2,0) $ la y è positiva e in caso contrario è negativa?
non avendo una formula analitica per la y, poi, come hai fatto a calcolare quei quattro limiti?
infine: interpretando bene i limiti finali non dovrei avere un minimo per una qualche $ x in(-1/2,0) $?
grazie ancora per la pazienza!
come mai riesco ad affermare (in modo certo) che se $ x in(-1/2,0) $ la y è positiva e in caso contrario è negativa?
non avendo una formula analitica per la y, poi, come hai fatto a calcolare quei quattro limiti?
infine: interpretando bene i limiti finali non dovrei avere un minimo per una qualche $ x in(-1/2,0) $?
grazie ancora per la pazienza!
Per esempio, quando $[-1/2 lt x lt 0]$, nel primo membro di $[y^3log(1+2x)+e^(xy)=0]$, l'esponenziale è necessariamente positivo, $[e^(xy) gt 0]$, e il logaritmo è necessariamente negativo, $[log(1+2x) lt 0]$. Affinchè l'equazione ammetta soluzione deve necessariamente essere $[y^3 gt 0] rarr [y gt 0]$. Ad ogni modo, utilizzando le due informazioni del mio primo messaggio, si dovrebbe riuscire a studiare la crescenza, la decrescenza e l'eventuale presenza di estremi relativi. Ovviamente, devi concentrarti sull'espressione della derivata che hai correttamente calcolato. Per quanto riguarda i limiti, ne riparliamo.
Vediamo se il ragionamento che ho fatto è corretto.
studio il segno della derivata: $ y'=-(2y^3+ye^(xy)(1+2x))/((1+2x)[3y^2log(1+2x)+xe^(xy)]>0 $
il numeratore è positivo se x>0 ed anche il denominatore è positivo quando x>0. tramite la regola dei segni trovo quindi che la funzione cresce in tutto il suo dominio. per cui non esistono massimi/minimi della funzione.
se i calcoli sono corretti a questo punto mi verrebbe da dire che il primo limite che hai calcolato non va bene. se così fosse comunque non saprei darne una spiegazione.
studio il segno della derivata: $ y'=-(2y^3+ye^(xy)(1+2x))/((1+2x)[3y^2log(1+2x)+xe^(xy)]>0 $
il numeratore è positivo se x>0 ed anche il denominatore è positivo quando x>0. tramite la regola dei segni trovo quindi che la funzione cresce in tutto il suo dominio. per cui non esistono massimi/minimi della funzione.
se i calcoli sono corretti a questo punto mi verrebbe da dire che il primo limite che hai calcolato non va bene. se così fosse comunque non saprei darne una spiegazione.
Per quanto riguarda il segno della derivata:
$[-1/2 lt x lt 0] vv [x gt 0] rarr [y' gt 0]$
Insomma, sono d'accordo, anche se la proprietà vale in tutto il dominio.
Non hai tutti i torti. Immagino che tu te ne sia accorto perchè in contraddizione con il secondo. Grazie per avermelo fatto notare. Ho ricontrollato, dovrebbe essere:
$lim_(x->(-1/2)^+)y(x)=0$
Ad ogni modo, anche se ho proceduto in modo ragionevole, vorrei giustificare il calcolo di tutti i limiti più rigorosamente.
$[-1/2 lt x lt 0] vv [x gt 0] rarr [y' gt 0]$
Insomma, sono d'accordo, anche se la proprietà vale in tutto il dominio.
"cooper":
... mi verrebbe da dire che il primo limite che hai calcolato non va bene ...
Non hai tutti i torti. Immagino che tu te ne sia accorto perchè in contraddizione con il secondo. Grazie per avermelo fatto notare. Ho ricontrollato, dovrebbe essere:
$lim_(x->(-1/2)^+)y(x)=0$
Ad ogni modo, anche se ho proceduto in modo ragionevole, vorrei giustificare il calcolo di tutti i limiti più rigorosamente.
E in base a cosa hai trovato quei risultati? Hai "intuito" quali potessero essere dalla crescenza e dalla positività/negatività della y?
Dato che:
$AA x in RR: [-1/2 lt x lt 0] vv [x gt 0] rarr [F(x,y(x))=0]$
deve, per esempio, necessariamente essere:
$lim_(x->(-1/2)^+)F(x,y(x))=0$
Escludendo i due casi seguenti (ti ricordo che la funzione è positiva in un intorno destro di $-1/2$ e, per un qualche motivo, mi sentirei di escludere a priori che il limite non esista):
$[lim_(x->(-1/2)^+)y(x)=+oo] rarr [F(x,y)=y^3log(1+2x)+e^(xy) rarr -oo]$
$[lim_(x->(-1/2)^+)y(x)=l gt 0] rarr [F(x,y)=y^3log(1+2x)+e^(xy) rarr -oo]$
non rimane che:
$lim_(x->(-1/2)^+)y(x)=0$
mediante il quale, proprio la comparsa di una forma indeterminata in:
$y^3log(1+2x)$
rende possibile avere:
$lim_(x->(-1/2)^+)F(x,y(x))=0$
Semplicemente così. Anche se non estremamente rigoroso, mi sembra piuttosto ragionevole. Se non ho commesso altri errori, dovresti ricavare i limiti del mio primo messaggio.
Solo così, difficilmente avrei potuto convincere il sottoscritto.
$AA x in RR: [-1/2 lt x lt 0] vv [x gt 0] rarr [F(x,y(x))=0]$
deve, per esempio, necessariamente essere:
$lim_(x->(-1/2)^+)F(x,y(x))=0$
Escludendo i due casi seguenti (ti ricordo che la funzione è positiva in un intorno destro di $-1/2$ e, per un qualche motivo, mi sentirei di escludere a priori che il limite non esista):
$[lim_(x->(-1/2)^+)y(x)=+oo] rarr [F(x,y)=y^3log(1+2x)+e^(xy) rarr -oo]$
$[lim_(x->(-1/2)^+)y(x)=l gt 0] rarr [F(x,y)=y^3log(1+2x)+e^(xy) rarr -oo]$
non rimane che:
$lim_(x->(-1/2)^+)y(x)=0$
mediante il quale, proprio la comparsa di una forma indeterminata in:
$y^3log(1+2x)$
rende possibile avere:
$lim_(x->(-1/2)^+)F(x,y(x))=0$
"cooper":
E in base a cosa hai trovato quei risultati?
Semplicemente così. Anche se non estremamente rigoroso, mi sembra piuttosto ragionevole. Se non ho commesso altri errori, dovresti ricavare i limiti del mio primo messaggio.
"cooper":
Hai "intuito" quali potessero essere dalla crescenza e dalla positività/negatività della y?
Solo così, difficilmente avrei potuto convincere il sottoscritto.
Grazie 1000 per la pazienza, molto chiaro!
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