Funzioni Hermite

[pat871]

Dovrei dimostrare che le funzioni Hermite:
$phi_n (x) := (-1)^n e^(1/2 x^2) (d^n)/(dx^n) e^(-x^2)$
sono "autovettori" o meglio, autofunzioni della trasformata di Fourier.
Cioè dovrei dimostrare che in pratica vale:
$\hat phi_n (k) = lambda phi_n (k)$
per un certo $lambda in CC$.
Ho pensato di fare la dimostrazione per induzione.
Per $n=0$, abbiamo che $phi_0 (x) = e^(-1/2x^2)$, da cui la trasformata risulta banalmente se stessa, ovvero $\hat phi_0 (k) = e^(-1/2k^2)$.
Supponimo ora che valga per n. Dimostriamo il passo induttivo ($n => n+1$):
$\hat phi_(n+1) (k) = (1)/(sqrt(2 pi)) int_(-infty)^(+infty) (-1)^(n+1) e^(1/2x^2) e^(-ikx) (d^(n+1))/(dx^(n+1)) e^(-x^2) dx$
Integrando per parti mi viene:
$= ((-1)^(n+1))/(sqrt(2 pi)) [e^(1/2x^2 -ikx) (d^n)/(dx^n) e^(-x^2)]_(-infty)^(+infty) - ((-1)^(n+1))/(sqrt(2 pi)) int_(-infty)^(infty) (x-ik)e^(1/2x^2 -ikx) (d^n)/(dx^n) e^(-x^2) dx$

E qui arrivano i miei dubbi:
1)
$((-1)^(n+1))/(sqrt(2 pi)) [e^(1/2x^2 -ikx) (d^n)/(dx^n) e^(-x^2)]_(-infty)^(+infty) = 0$ ?

2) La seconda parte la riscrivo come:
$- ((-1)^(n+1))/(sqrt(2 pi)) int_(-infty)^(infty) (x-ik)e^(1/2x^2 -ikx) (d^n)/(dx^n) e^(-x^2) dx = - ((-1)^(n+1))/(sqrt(2 pi)) int_(-infty)^(infty) xe^(1/2x^2 -ikx) (d^n)/(dx^n) e^(-x^2) dx + (ik(-1)^(n+1))/(sqrt(2 pi)) int_(-infty)^(infty) e^(1/2x^2 -ikx) (d^n)/(dx^n) e^(-x^2) dx $
$=((-1)^(n))/(sqrt(2 pi)) int_(-infty)^(infty) xe^(1/2x^2 -ikx) (d^n)/(dx^n) e^(-x^2) dx -ik lambda phi_n(x)$
per ipotesi di induzione.
Come potrei andare avanti?
Grazie mille per l'aiuto!

[Eredir]

Per il momento ti segnalo un modo non induttivo per dimostrare la proposizione.
Se poi mi viene in mente come proseguire la tua dimostrazione lo scrivo.