Funzioni fondamentali costanti su un intervallo
Ciao, amici! Definite le funzioni fondamentali come funzioni infinitamente derivabili nulle al di fuori di un intervallo finito, mi chiedevo se ne esistono che siano costanti su un intervallo.
Sono particolarmente interessato all'esistenza di queste per vedere se si possa costruire una funzione integrale della funzione $f$ che definisce una distribuzione integrandone il prodotto per una funzione fondamentale che valga 1 su $[a,x]$, dato che, se \(\forall t\in[a,x]\quad\varphi(t)=1\), allora $\int_{a}^x f(t)\varphi(t)dt=\int_{a}^x f(t)dt$.
$\infty$ grazie a tutti!
Sono particolarmente interessato all'esistenza di queste per vedere se si possa costruire una funzione integrale della funzione $f$ che definisce una distribuzione integrandone il prodotto per una funzione fondamentale che valga 1 su $[a,x]$, dato che, se \(\forall t\in[a,x]\quad\varphi(t)=1\), allora $\int_{a}^x f(t)\varphi(t)dt=\int_{a}^x f(t)dt$.
$\infty$ grazie a tutti!
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Se l'intervallo è tutto $RR$ la cosa è impossibile perché si dovrebbe rinunciare o alla [strike]continuità[/strike] derivabilità, oppure al supporto limitato. Su un intervallo limitato invece direi che si può fare, basta prendere la funzione gradino e poi "ammorbirla" fino a $C^1$. Non so esattamente cosa siano, ma i mollificatori sono collegati a queste cose. Prova a vedere
Se l'intervallo è tutto $RR$ la cosa è impossibile perché si dovrebbe rinunciare o alla [strike]continuità[/strike] derivabilità, oppure al supporto limitato. Su un intervallo limitato invece direi che si può fare, basta prendere la funzione gradino e poi "ammorbirla" fino a $C^1$. Non so esattamente cosa siano, ma i mollificatori sono collegati a queste cose. Prova a vedere
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