Funzioni Esponenziali e logaritmiche
Salve vorrei un chiarimento.
Ho una disequazione del tipo
2x-logx^2>0
Per svolgerla ho pensato di far diventare la x un logaritmo.
E' corretto?
Ho una disequazione del tipo
2x-logx^2>0
Per svolgerla ho pensato di far diventare la x un logaritmo.
E' corretto?
Risposte
Se quello è un log(x^2) puoi semplificare il 2, dopodichè devi fare un confronto grafico tra le funzioni y=x e y=logx! In questo caso la soluzione è per ogni x maggiore di 0, visto che la retta y=x sta sempre sopra alla logaritmica, che però non è definita per x<0!
E per una disequazione del genere
x-log|x^2-1|>0
valo lo stesso, esatto?
x-log|x^2-1|>0
valo lo stesso, esatto?
Direi proprio di sì! In generale quando hai nella stessa equazione funzione trigonometriche, esponenziali o logaritmiche allo stesso tempo (oppure semplicemente x e una funzione di x) è l'unico modo per risolverle. Le soluzioni non sono esatte, ma se fai bene il disegno puoi "rinchiuderle" in un intorno abbastanza piccolo!
Ti ringrazio tantissimo 
"Giuly19":
Se quello è un log(x^2) puoi semplificare il 2, dopodichè devi fare un confronto grafico tra le funzioni y=x e y=logx! In questo caso la soluzione è per ogni x maggiore di 0, visto che la retta y=x sta sempre sopra alla logaritmica, che però non è definita per x<0!
Non è del tutto corretto questo passaggio. Mi spiego meglio.
La funzione [tex]f(x)= \log(x^2)[/tex] ha per dominio [tex]D_f= \left \{x\in \mathbb{R}| x\ne 0\right\}[/tex], mentre [tex]g(x)=2 \log(x)[/tex] ha per dominio [tex]D_g:=\left\{x\in \mathbb{R}| x>0\right\}[/tex]. Le due funzioni, [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex], coincidono in [tex]D_g[/tex], ma [tex]f(x)[/tex] ha diritto di vivere anche altrove
. Quindi per [tex]x>0[/tex], la disequazione diventa:[tex]2x-\log(x^2)>0[/tex] (poichè per [tex]x>0[/tex], [tex]\log(x^2)= 2\log(x)[/tex])
[tex]2x> 2\log(x)[/tex]
[tex]x>\log(x)[/tex] e questa è soddisfatta [tex]\forall x>0[/tex], è una disuguaglianza nota.
I problemi sorgono quando [tex]x<0[/tex], nel qual caso non è possibile utilizzare l'uguaglianza [tex]\log(x^2)= 2\log(x)[/tex], per evidenti problemi di dominio. Una discussione grafica può essere di aiuto:
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("2*x");
stroke="green";
plot("log(x^2)");[/asvg]
In rosso è descritta la funzione [tex]2 x[/tex], in verde la funzione [tex]\log(x^2)[/tex]. La disequazione di partenza è quindi soddisfatta per [tex]x>\xi[/tex], [tex]x\ne 0[/tex], con [tex]\xi\in (-1, 0)[/tex] da determinare con metodi iterativi.
Spero di non aver confuso le acque.
Hai perfettamente ragione, non ci avevo pensato!
Per quanto riguarda la seconda che vi ho scritto
x-log|x^2-1|>0
Sto facendo lo studio della funzione e mi sono bloccata allo studio della positività. Ho studiato la funzione log|x^2-1| adesso ribalto tutto visto che lì ho un segno negativo. Ma adesso cosa devo fare oltre ad inserire nel grafico la retta x=y?
Scusami Mathematico, ma non ho capito ε in base a cosa l'hai determinata.
Vi ringrazio
x-log|x^2-1|>0
Sto facendo lo studio della funzione e mi sono bloccata allo studio della positività. Ho studiato la funzione log|x^2-1| adesso ribalto tutto visto che lì ho un segno negativo. Ma adesso cosa devo fare oltre ad inserire nel grafico la retta x=y?
Scusami Mathematico, ma non ho capito ε in base a cosa l'hai determinata.
Vi ringrazio
Non sarebbe un epsilon ma un'altra lettera greca che non so come si scrive (tipo psi o csi), comunque non puoi determinarlo con esattezza,ma puoi stabilire un intervallo a cui appartiene sicuramente! Se il grafico è preciso l'intervallo sarà più preciso ovviamente! Comunque lo devi ricavare semplicemente guardando il disegno che hai fatto!
"3Mary3":
Per quanto riguarda la seconda che vi ho scritto
x-log|x^2-1|>0
Sto facendo lo studio della funzione e mi sono bloccata allo studio della positività. Ho studiato la funzione log|x^2-1| adesso ribalto tutto visto che lì ho un segno negativo. Ma adesso cosa devo fare oltre ad inserire nel grafico la retta x=y?
Scusami Mathematico, ma non ho capito ε in base a cosa l'hai determinata.
Vi ringrazio
Per il secondo esercizio, io avrei studiato:
[tex]\left\{
\begin{matrix} x^2-1>0 \\
x- \log(x^2-1)>0 \end{matrix} \right.\bigcup \left\{
\begin{matrix} x^2-1<0 \\
x- \log(1-x^2)>0 \end{matrix} \right.[/tex]
Guardando il grafico della [tex]f(x)=x[/tex] in rosso e [tex]g(x)= \log|x^2-1|[/tex], in verde
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("x");
stroke="green";
plot("log(abs(x^2-1))");[/asvg]
riusciresti a capire qual è l'insieme soluzione?
La lettera greca [tex]\xi[/tex] si legge xi. Non può essere determinata in modo esatto, ma procedendo con metodi iterativi, è possibile ottenerne una approssimazione. Un metodo, il più facile, è quello di bisezione, lo hai mai fatto a lezione?
Visto che mary risponderà fra un po' e dubito che lo abbia fatto a lezione, potresti iniziare a spiegarlo così illumini anche me??:D
"Giuly19":
Visto che mary risponderà fra un po' e dubito che lo abbia fatto a lezione, potresti iniziare a spiegarlo così illumini anche me??:D
Lo potrei anche fare
, ma per adesso mi astengo per due motivi:1) Se non fa parte del programma, allora preferisco che lo spieghi un professore prima, lo farà sicuramente meglio di me
2) Mi rompo un po' le pelotas a scrivere qualcosa che puoi trovare su internet
(Ovviamente scherzo, adesso sono in fase pre-cena, magari lo farò più tardi, sicuramente stanotte
), una piccola anticipazione:Il metodo si basa sul seguente teorema (di Bolzano, o degli zeri):
Sia [tex]f:[a, b]\to \mathbb{R}[/tex] una funzione continua in [tex][a, b][/tex], tale che [tex]f(a)f(b)<0[/tex] allora esiste [tex]\alpha \in (a, b)[/tex] tale che [tex]f(\alpha)=0[/tex].
Il metodo di bisezione consiste nel costruire una successione di numeri reali, [tex](\alpha_n)_{n\in \mathbb{N}}[/tex] tale che [tex]$\lim_{n\to \infty} \alpha_n= \alpha[/tex]
E' parte della dimostrazione del teorema degli zeri! Ma per applicarlo operativamente??
Ok, lavoriamo col primo esercizio.
Chiamo [tex]f(x)=2x-\log(x^2)[/tex], la prima cosa da fare è determinare un intervallo [tex][a, b][/tex], di modo che la funzione [tex]f[/tex] sia continua e [tex]f(a)f(b)<0[/tex], dovremmo assicurarci anche che in tale intervallo ci sia un solo zero. Il grafico della funzione: è il seguente:
[asvg]axes("labels", "grid");
stroke="red";
plot("2*x- log(x^2)");[/asvg]
Concentriamoci sulla parte che ci interessa:
[asvg]xmin = -1; xmax = -0.5; ymin = -2; ymax = 1; axes("labels", "grid");
stroke="red";
plot("2*x- log(x^2)");[/asvg]
In questo grafico è rappresentata la funzione $f(x)$ nell'intervallo $[-1, -1/2]$. $f$ è continua, ed inoltre, [tex]f(-1)f(-\frac{1}{2})< 0[/tex]. A questo punto definisco $\alpha_1=\frac{-1+(-1/2)}{2} =-3/4$ che rappresenta il punto medio dell'intervallo $[-1, -1/2]$. Verranno a crearsi due intervalli $[-1, -3/4]$ e $[-3/4, -1/2]$ uno dei quali soddisferà ancora il teorema degli zeri (uno solo perchè dal grafico si deduce che lo zero è unico in $[-1, -1/2]$).
Vediamo quale dei due continua a soddisfare le ipotesi del teorema degli zeri, in particolare dobbiamo verificare la condizione $f(a)f(b)<0$
$f(-1)*f(-3/4)>0$, quindi l'intervallo $[-1,-3/4]$ non contiene lo zero e di conseguenza esso sarà in $[-3/4, -1/2]$, infatti:
$f(-3/4)*f(-1/2)<0$. Definiamo $\alpha_2=\frac{-3/4+(-1/2)}{2}=-5/8 $, che è già una buona approssimazione per il nostro zero. Per diminuire l'errore commesso, potresti continuare con un ulteriore passo.
Andremo a considerare altri due intervalli $[-3/4, -5/8]$ e $[-5/8, -1/2]$. Come prima devi verificare in quale dei due intervalli la funzione $f$ assume valori discordi agli estremi e continuare. Tale processo non avrà mai fine, pertanto creeremo una successione di valori reali [tex](\alpha_n)_{n\in \mathbb{N}}[/tex], con la peculiarità che:[tex]|\alpha -\alpha_n|\le\frac{-\frac{1}{2}-(-1)}{2^{n+1}}[/tex], dove con $\alpha$ indico lo zero esatto della funzione.
Passando al limite $n$, otterremo che $\alpha=\lim_{n\to \infty} \alpha_n$, cioè la successione "dei punti medi" converge allo zero della funzione.
Di solito, nei compiti scritti, i professori chiedono di determinare l'approssimazione a meno di una certa tolleranza che è raggiungibile con pochi passi.
Chiamo [tex]f(x)=2x-\log(x^2)[/tex], la prima cosa da fare è determinare un intervallo [tex][a, b][/tex], di modo che la funzione [tex]f[/tex] sia continua e [tex]f(a)f(b)<0[/tex], dovremmo assicurarci anche che in tale intervallo ci sia un solo zero. Il grafico della funzione: è il seguente:
[asvg]axes("labels", "grid");
stroke="red";
plot("2*x- log(x^2)");[/asvg]
Concentriamoci sulla parte che ci interessa:
[asvg]xmin = -1; xmax = -0.5; ymin = -2; ymax = 1; axes("labels", "grid");
stroke="red";
plot("2*x- log(x^2)");[/asvg]
In questo grafico è rappresentata la funzione $f(x)$ nell'intervallo $[-1, -1/2]$. $f$ è continua, ed inoltre, [tex]f(-1)f(-\frac{1}{2})< 0[/tex]. A questo punto definisco $\alpha_1=\frac{-1+(-1/2)}{2} =-3/4$ che rappresenta il punto medio dell'intervallo $[-1, -1/2]$. Verranno a crearsi due intervalli $[-1, -3/4]$ e $[-3/4, -1/2]$ uno dei quali soddisferà ancora il teorema degli zeri (uno solo perchè dal grafico si deduce che lo zero è unico in $[-1, -1/2]$).
Vediamo quale dei due continua a soddisfare le ipotesi del teorema degli zeri, in particolare dobbiamo verificare la condizione $f(a)f(b)<0$
$f(-1)*f(-3/4)>0$, quindi l'intervallo $[-1,-3/4]$ non contiene lo zero e di conseguenza esso sarà in $[-3/4, -1/2]$, infatti:
$f(-3/4)*f(-1/2)<0$. Definiamo $\alpha_2=\frac{-3/4+(-1/2)}{2}=-5/8 $, che è già una buona approssimazione per il nostro zero. Per diminuire l'errore commesso, potresti continuare con un ulteriore passo.
Andremo a considerare altri due intervalli $[-3/4, -5/8]$ e $[-5/8, -1/2]$. Come prima devi verificare in quale dei due intervalli la funzione $f$ assume valori discordi agli estremi e continuare. Tale processo non avrà mai fine, pertanto creeremo una successione di valori reali [tex](\alpha_n)_{n\in \mathbb{N}}[/tex], con la peculiarità che:[tex]|\alpha -\alpha_n|\le\frac{-\frac{1}{2}-(-1)}{2^{n+1}}[/tex], dove con $\alpha$ indico lo zero esatto della funzione.
Passando al limite $n$, otterremo che $\alpha=\lim_{n\to \infty} \alpha_n$, cioè la successione "dei punti medi" converge allo zero della funzione.
Di solito, nei compiti scritti, i professori chiedono di determinare l'approssimazione a meno di una certa tolleranza che è raggiungibile con pochi passi.
No, non ricordo di aver mai usato questo metodo di bisezione, finora ho sempre fatto studi di funzioni dove "i risultati erano esatti" (nel senso che non ho mai dovuto approssimare)
Se ho ben capito questa volta x>ξ con ξ prossimo a -1 (?) e per ξ>0
Esatto?
Se ho ben capito questa volta x>ξ con ξ prossimo a -1 (?) e per ξ>0
Esatto?
Ti prego di scusarmi per il ritardo nella risposta, se non hai fatto il metodo di bisezione, allora non badara al mio messaggio precedente.
Il secondo esercizio postato ([tex]x-\log|x^2-1|>0[/tex] ) in realtà ha come insieme soluzione
[tex]S=\left\{x\in \mathbb{R}| \xi_10, x\ne 1\right\}[/tex] con [tex]\xi_1\in (-2,-1)[/tex] e [tex]\xi_2\in (-1,0)[/tex]. Certo non mi è chiaro per quale motivo si diano questo tipo di esercizi, potresti scrivere la traccia esatta?
Il secondo esercizio postato ([tex]x-\log|x^2-1|>0[/tex] ) in realtà ha come insieme soluzione
[tex]S=\left\{x\in \mathbb{R}| \xi_1
grazie mathematico per avermi kiarito le idee!! avevo studiato il metodo di bisezione in teoria ma non l'avevo mai applicato!! in sostanza è semplice anche se naturalmente più si va avanti e più si approssima il risultato. Grazie mille !!
!!
Scusate il ritardo. Vi ringrazio tantissimo. Adesso è tutto chiaro
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