Funzioni e limiti tra spazi metrici
Sto studiando i limiti di funzioni in spazi metrici ma non riesco a focalizzare graficamente la situazione. In altre parole se considero una funzione reale di variabile reale (f "da R in R") posso disegnarne il grafico in R^2 (piano cartesiano) e visualizzare tutte le definizioni di limite utilizzando gli intorni di R.
Se f è una funzione tra spazi metrici non saprei come rappresentarla quindi non riesco a visualizzare la definizione di limite. Inoltre il mio libro riporta che per il limiti infiniti o all'infinito è necessario che uno dei due spazi metrici sia proprio R. A questo punto le mie domande sono:
1) Un piano analogo a quello cartesiano del tipo X x R (con (X,d) spazio metrico lo posso utilizzare solo se X è ordinato? negli altri casi?
2) Se, ad esempio, (X,d) fosse spazio metrico i cui elementi sono le rette passanti per l'origine, come potrei visualizzare graficamente lim(x->(retta x=0)) di f(x) dove f: x->R tale che a ogni retta associa il coefficiente angolare.
3) Ma +inf. è un punto di accumulazione in R esteso, gli altri sottoinsiemi di R non hanno +inf. come "punto"; quando faccio il limite a +inf. l'insieme di partenza (ad esempio R) deve contenerlo (e dunque dovrei partire da R esteso e non da R) o può anche non far parte dello spazio metrico?
Grazie in anticipo per le risposte.
Se f è una funzione tra spazi metrici non saprei come rappresentarla quindi non riesco a visualizzare la definizione di limite. Inoltre il mio libro riporta che per il limiti infiniti o all'infinito è necessario che uno dei due spazi metrici sia proprio R. A questo punto le mie domande sono:
1) Un piano analogo a quello cartesiano del tipo X x R (con (X,d) spazio metrico lo posso utilizzare solo se X è ordinato? negli altri casi?
2) Se, ad esempio, (X,d) fosse spazio metrico i cui elementi sono le rette passanti per l'origine, come potrei visualizzare graficamente lim(x->(retta x=0)) di f(x) dove f: x->R tale che a ogni retta associa il coefficiente angolare.
3) Ma +inf. è un punto di accumulazione in R esteso, gli altri sottoinsiemi di R non hanno +inf. come "punto"; quando faccio il limite a +inf. l'insieme di partenza (ad esempio R) deve contenerlo (e dunque dovrei partire da R esteso e non da R) o può anche non far parte dello spazio metrico?
Grazie in anticipo per le risposte.
Risposte
Ma hai ancora bisogno di visualizzare?
Lungi da me criticare questa pratica (sono il primo a farlo, spesso e volentieri), ma voglio dire: se stai studiando gli spazi metrici, avrai già abbondantemente passato Analisi I (e forse anche Analisi II); a questo punto le tue doti di astrazione dovrebbero essere abbastanza sviluppate da riuscire a comprendere il significato di una definizione non per visualizzazione, ma per semplice analogia col caso reale "standard".
Per venire alle domande: cosa c'entra l'ordine con la metrica?
Quale metrica metti sullo spazio delle rette per l'origine?
Inoltre, a me pare che alcuni insiemi di \(\widehat{\mathbb{R}}\) abbiano sia \(+\infty \) sia \(-\infty\) come p.d.a.: ad esempio \(\mathbb{Z}\).
Lungi da me criticare questa pratica (sono il primo a farlo, spesso e volentieri), ma voglio dire: se stai studiando gli spazi metrici, avrai già abbondantemente passato Analisi I (e forse anche Analisi II); a questo punto le tue doti di astrazione dovrebbero essere abbastanza sviluppate da riuscire a comprendere il significato di una definizione non per visualizzazione, ma per semplice analogia col caso reale "standard".
Per venire alle domande: cosa c'entra l'ordine con la metrica?
Quale metrica metti sullo spazio delle rette per l'origine?
Inoltre, a me pare che alcuni insiemi di \(\widehat{\mathbb{R}}\) abbiano sia \(+\infty \) sia \(-\infty\) come p.d.a.: ad esempio \(\mathbb{Z}\).
Sto trattando gli spazi metrici nel corso di analisi I quindi è la prima volta che lavoro con questo argomento...
Avevo omesso la metrica per l'insieme delle rette perché non mi sembrava fondamentale, comunque mettiamo il caso che d(x1,x2) = a (angolo tra le due rette);
Il mio problema era che gli insiemi come R, Z ecc... non comprendono +inf. e -inf. (che invece sono aggiunti a R per formare R esteso)
Avevo omesso la metrica per l'insieme delle rette perché non mi sembrava fondamentale, comunque mettiamo il caso che d(x1,x2) = a (angolo tra le due rette);
Il mio problema era che gli insiemi come R, Z ecc... non comprendono +inf. e -inf. (che invece sono aggiunti a R per formare R esteso)
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