Funzioni diverse con lo stesso grafico (?)
Buonasera ragazzi!
Un mio amico che fa architettura (urbanistica, precisamente) ha nel piano di studi un corso di matematica (non mi sentirei di definirla analisi
) e ieri sera, mentre gli davo una mano [frequento ingegneria matematica, e, non per vantarmi, sicuramente sò qualcosa (e non solo qualcosa) in più di lui ] mi ha messo in crisi.. Un suo esercizio (a crocette vero/falso) recitava:
- Le funzioni $ sqrt(((x-1)/(x-3))) $ e $ sqrt(x-1)/sqrt(x-3) $ sono uguali?
A prima vista avrei detto Vero, ma nelle soluzioni c'era scritto Falso e in effetti, ragionandoci poi con calma, le due funzioni sono esattamente uguali, ma cambia il loro dominio. La prima è definita per $ (xleq1) uu (x>3) $, la seconda invece solo per $ x>3 $.
Ma, non contento, ho voluto fare una prova: ho disegnato il grafico delle due funzioni su diversi software/siti e, con mia massima sorpresa, il signor Matlab e Sua Eccellenza Wolfram Alpha (qua e qua), nonché il povero Derive ormai caduto in disgrazia, presentano praticamente lo stesso identico grafico per entrambe le funzioni. Soltanto un banalissimo software per iPhone/iPod, che si chiama TouchPlot, mostrava i grafici corretti..
Mi sono bevuto qualcosa di pesante io oppure è un errore di ben 3 software su 4? Il che mi sembra molto strano, perché sono generalmente molto affidabili, e questa funzione è una sciocchezzuola rispetto a quello che riescono a fare..
Boh, chi riesce a capire qualcosa mi illumini!
Grazie in anticipo,
elauksap.
Un mio amico che fa architettura (urbanistica, precisamente) ha nel piano di studi un corso di matematica (non mi sentirei di definirla analisi
) e ieri sera, mentre gli davo una mano [frequento ingegneria matematica, e, non per vantarmi, sicuramente sò qualcosa (e non solo qualcosa) in più di lui ] mi ha messo in crisi.. Un suo esercizio (a crocette vero/falso) recitava:- Le funzioni $ sqrt(((x-1)/(x-3))) $ e $ sqrt(x-1)/sqrt(x-3) $ sono uguali?
A prima vista avrei detto Vero, ma nelle soluzioni c'era scritto Falso e in effetti, ragionandoci poi con calma, le due funzioni sono esattamente uguali, ma cambia il loro dominio. La prima è definita per $ (xleq1) uu (x>3) $, la seconda invece solo per $ x>3 $.
Ma, non contento, ho voluto fare una prova: ho disegnato il grafico delle due funzioni su diversi software/siti e, con mia massima sorpresa, il signor Matlab e Sua Eccellenza Wolfram Alpha (qua e qua), nonché il povero Derive ormai caduto in disgrazia, presentano praticamente lo stesso identico grafico per entrambe le funzioni. Soltanto un banalissimo software per iPhone/iPod, che si chiama TouchPlot, mostrava i grafici corretti..
Mi sono bevuto qualcosa di pesante io oppure è un errore di ben 3 software su 4? Il che mi sembra molto strano, perché sono generalmente molto affidabili, e questa funzione è una sciocchezzuola rispetto a quello che riescono a fare..
Boh, chi riesce a capire qualcosa mi illumini
!Grazie in anticipo,
elauksap.
Risposte
Il software Wolfram.. non è molto affidabile nel plottare le funzioni in una variabile, difatti se noti, ti disegna anche la parte immaginaria in arancio.. perchè lo faccia, io non lo capisco, comunque le funzioni sì son diverse come hai detto, ho fatto il grafico con un piccolissimo software per Nokia, ed è venuto come dici te.
Matlab purtroppo non lo so usare benissimo, e di Derive non ne faccio proprio uso, quindi potrei dirti ben poco su questi due
Matlab purtroppo non lo so usare benissimo, e di Derive non ne faccio proprio uso, quindi potrei dirti ben poco su questi due
Di questo si è parlato tantissime volte. Non è che un software "è migliore" di un altro perché ti disegna o non ti disegna la parte immaginaria in un grafico. E' solo questione di convenzioni: siamo noi utenti che dovremmo sapere da prima quali convenzioni adotta un software di calcolo. In particolare è completamente privo di senso dare in pasto ad un software di calcolo una espressione chiedendogli dove essa sia definita, se non sappiamo quali convenzioni adotta per le funzioni elementari. Vedere:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#276522
e post vicini per una delle tantissime discussioni in merito. Venendo alla questione matematica, è una domanda proprio mal posta, purtroppo. Qui alcune riflessioni sul tema:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#499013
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#276522
e post vicini per una delle tantissime discussioni in merito. Venendo alla questione matematica, è una domanda proprio mal posta, purtroppo. Qui alcune riflessioni sul tema:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#499013
Forse mi sono espresso male, dovevo dire, a mio parere Wolfram non è molto preciso nel plotting, perchè sempre a mio parere, quando uno fa lo studio di funzione a cosa serve la parte immaginaria, io medesimo, non capisco a cosa serva(scusate l'ignoranza); poi ovviamente ci saranno delle ragioni valide.
Ma è sufficiente che tu glielo dica da prima, che stai usando solo funzioni reali. Carichi il pacchetto RealOnly e puoi smettere di preoccuparti dei valori complessi. Prova a leggere il primo dei due link che ho postato, si parla proprio di questo.
Ah.. ok non ero a conoscenza di questa opzione, scusa per il commento inopportuno allora.. 
La domanda è mal posta solo perché ho scritto «dominio» invece che «dominio massimale»? Scusa, ma non mi pare proprio.. La domanda è chiarissima, e il messaggio fa capire proprio la domanda che volevo porre, cioè se sbagliavo io a dire che le funzioni sono diverse oppure se è colpa dei software che, per qualche motivo a me sconosciuto, generano un errore (perché di errore si tratta, in qualsiasi modo il software definisca la funzione radice).
La domanda del test è mal posta, non la domanda tua. Quello che tu sbagli è l'uso del software che fai.
Perché sarebbero "sbagliati" i grafici che ottieni? Una funzione non è solo una espressione analitica. Una funzione è infatti una coppia: un dominio e una espressione analitica. Quando tu dai in pasto al software solo una espressione analitica, peraltro senza preoccuparti di capire bene come questa viene gestita internamente, stai passando una informazione incompleta. E' come se tu dicessi: senti, ti do questi dati incompleti, vedi un po' tu come completarli.
Ma chiaramente ogni software, in questi casi, fa un po' come gli pare e di solito non ha in mente le esigenze dello studente che deve determinare il dominio di una funzione, ma dell'utente che ha a che fare con funzioni di variabile complessa. Nello specifico, adottando convenzioni perfettamente naturali e che Wolfram Alpha ti spiega nel riquadro "Alternate forms", quello che si ottiene dalle due espressioni analitiche è effettivamente sempre la stessa funzione.
Allora, quale sarebbe l'uso corretto del software in questo caso? Bisogna dargli l'informazione completa e non solo una informazione parziale. Volendo disegnare il grafico di $\frac{sqrt{x-3}}{sqrt{x-1}}$, ad esempio, per prima cosa bisogna stabilire l'insieme di definizione su cui si vuole disegnare, nel nostro caso l'intervallo $[3, infty)$. Quindi richiedere al software che ci disegni il grafico della funzione definita su $[3, infty)$ e di espressione analitica $\frac{sqrt{x-3}}{sqrt{x-1}}$. Su questo intervallo siamo sicuri a priori che non sorgeranno ambiguità dovute all'interpretazione complessa delle funzioni elementari.
Alternativamente, spesso i programmi mettono a disposizione pacchetti, come RealOnly (Mathematica) o RealDomain (Maple) che, quando caricati, segnalano al software di operare solo con funzioni reali di variabile reale.
Perché sarebbero "sbagliati" i grafici che ottieni? Una funzione non è solo una espressione analitica. Una funzione è infatti una coppia: un dominio e una espressione analitica. Quando tu dai in pasto al software solo una espressione analitica, peraltro senza preoccuparti di capire bene come questa viene gestita internamente, stai passando una informazione incompleta. E' come se tu dicessi: senti, ti do questi dati incompleti, vedi un po' tu come completarli.
Ma chiaramente ogni software, in questi casi, fa un po' come gli pare e di solito non ha in mente le esigenze dello studente che deve determinare il dominio di una funzione, ma dell'utente che ha a che fare con funzioni di variabile complessa. Nello specifico, adottando convenzioni perfettamente naturali e che Wolfram Alpha ti spiega nel riquadro "Alternate forms", quello che si ottiene dalle due espressioni analitiche è effettivamente sempre la stessa funzione.
Allora, quale sarebbe l'uso corretto del software in questo caso? Bisogna dargli l'informazione completa e non solo una informazione parziale. Volendo disegnare il grafico di $\frac{sqrt{x-3}}{sqrt{x-1}}$, ad esempio, per prima cosa bisogna stabilire l'insieme di definizione su cui si vuole disegnare, nel nostro caso l'intervallo $[3, infty)$. Quindi richiedere al software che ci disegni il grafico della funzione definita su $[3, infty)$ e di espressione analitica $\frac{sqrt{x-3}}{sqrt{x-1}}$. Su questo intervallo siamo sicuri a priori che non sorgeranno ambiguità dovute all'interpretazione complessa delle funzioni elementari.
Alternativamente, spesso i programmi mettono a disposizione pacchetti, come RealOnly (Mathematica) o RealDomain (Maple) che, quando caricati, segnalano al software di operare solo con funzioni reali di variabile reale.
mi pare che la risposta sia già in quello che hai detto: le due funzioni sono "uguali" per $x>3$, cioè nell'intersezione dei due dominii.
anche per $1
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