Funzioni differenziabili
buonasera, chiedo anticipatamente scusa per l'argomento "frivolo" di questo topic
supponiamo di avere una [tex]f(x)[/tex] continua e differenziabile quasi ovunque ma che, ad esempio, presenti un certo numero di cuspidi. (es: una cicloide)
è possibile definire la funzione che meglio "approssimi" la [tex]f(x)[/tex] ma che sia differenziabile ovunque?
il problema mi è venuto in mente vedendo una fetta di una forma di formaggio circolare. la fetta aveva una forma simile a questa
si tratta dunque di trovare quale sia la curva rossa più "vicina" alla curva iniziale
è fattibile?
supponiamo di avere una [tex]f(x)[/tex] continua e differenziabile quasi ovunque ma che, ad esempio, presenti un certo numero di cuspidi. (es: una cicloide)
è possibile definire la funzione che meglio "approssimi" la [tex]f(x)[/tex] ma che sia differenziabile ovunque?
il problema mi è venuto in mente vedendo una fetta di una forma di formaggio circolare. la fetta aveva una forma simile a questa
si tratta dunque di trovare quale sia la curva rossa più "vicina" alla curva iniziale
è fattibile?
Risposte
Questo sarebbe un argomento frivolo? E perché mai? Invece si tratta di una questione piuttosto profonda appartenente alla sfera della "teoria dell'approssimazione".
La domanda non è proprio ben posta, perché non è completa. Mancano infatti dei dati: bisognerebbe specificare che cosa si intende per migliore approssimazione. In tutti i modi, euristicamente parlando la risposta è: no, non esiste una sola curva liscia che meglio approssima la curva data. Infatti, comunque tu fissi una curva liscia approssimante la curva data, ne troverai sempre un'altra che fornisce una approssimazione migliore. Si dice che l'insieme delle funzioni infinitamente derivabili è denso nell'insieme delle funzioni generalmente continue.
Per avere un'unica approssimante devi richiedere qualcosa in più. Ad esempio, puoi volere che la tua approssimante sia una curva polinomiale che passi da un certo numero fissato di punti della curva assegnata: si parla in questo caso di interpolazione polinomiale. Ci sono poi molte varianti di questa tecnica: l'interpolazione spline è il primo esempio che mi viene in mente. Si può anche richiedere una approssimazione in un senso diverso, ad esempio nel senso dei minimi quadrati. Insomma, c'è moltissimo materiale sulla questione.
La domanda non è proprio ben posta, perché non è completa. Mancano infatti dei dati: bisognerebbe specificare che cosa si intende per migliore approssimazione. In tutti i modi, euristicamente parlando la risposta è: no, non esiste una sola curva liscia che meglio approssima la curva data. Infatti, comunque tu fissi una curva liscia approssimante la curva data, ne troverai sempre un'altra che fornisce una approssimazione migliore. Si dice che l'insieme delle funzioni infinitamente derivabili è denso nell'insieme delle funzioni generalmente continue.
Per avere un'unica approssimante devi richiedere qualcosa in più. Ad esempio, puoi volere che la tua approssimante sia una curva polinomiale che passi da un certo numero fissato di punti della curva assegnata: si parla in questo caso di interpolazione polinomiale. Ci sono poi molte varianti di questa tecnica: l'interpolazione spline è il primo esempio che mi viene in mente. Si può anche richiedere una approssimazione in un senso diverso, ad esempio nel senso dei minimi quadrati. Insomma, c'è moltissimo materiale sulla questione.
In realtà si può staccare un piccolo intervallo attorno al punto singolare e raccordare i due rami del grafico in qualunque modo (ossia con classe di derivabilità finita, tipo [tex]$C^2$[/tex], [tex]$C^4$[/tex], [tex]$C^{10000}$[/tex], oppure infinita, cioè [tex]$C^\infty$[/tex])... Insomma, si può sempre "arrotondare uno spigolo" senza troppi problemi.
Ad esempio, prendiamo [tex]$u(x)=|x|$[/tex], che ha un punto angoloso in [tex]$0$[/tex].
Fissiamo [tex]$\varepsilon >0$[/tex] e stacchiamo dal dominio l'intervallo [tex]$[-\varepsilon ,\varepsilon]$[/tex]; in tal modo ci rimangono due rami del grafico di [tex]$u(x)$[/tex], ossia quello definito in [tex]$]-\infty ,\varepsilon]$[/tex] e quello definito in [tex]$[\varepsilon ,+\infty[$[/tex].
Cerchiamo di raccordare i due rami in modo che la nuova funzione sia [tex]$C^4$[/tex]: per fare ciò dobbiamo determinare una funzione [tex]$f(x)$[/tex] definita almeno in [tex]$[-\varepsilon ,\varepsilon]$[/tex] tale che:
[tex]$f(\pm \varepsilon) =u(\pm \varepsilon)$[/tex], [tex]$f^{(n)}(\pm \varepsilon^\mp)=u^{(n)}(\pm \varepsilon)$[/tex] per [tex]$n=1,\ldots ,4$[/tex].
Visto che:
[tex]$u (\pm \varepsilon) =\varepsilon$[/tex], [tex]$u^\prime (\pm \varepsilon) =\pm 1$[/tex] e [tex]$u^{(n)}(\pm \varepsilon)=0$[/tex] per [tex]$n=2,3,4$[/tex],
le precedenti divengono:
[tex]$f (\pm \varepsilon) =\varepsilon$[/tex], [tex]$f^\prime (\pm \varepsilon) =\pm 1$[/tex] e [tex]$f^{(n)}(\pm \varepsilon)=0$[/tex] per [tex]$n=2,3,4$[/tex];
Per semplificarci la vita, può bastare scegliere [tex]$f(x)$[/tex] uguale ad un polinomio: in tale ottica, le ultime condizioni sono certamente verificate se si può scegliere [tex]$f(x)$[/tex] in modo che [tex]$f^{\prime \prime} (x)=\phi(x):=C(x-\varepsilon)^3(x+\varepsilon)^3=C(x^2-\varepsilon^2)^3$[/tex] ([tex]$C$[/tex] è una costante arbitraria); quindi ora bisogna vedere se è possibile integrare due volte [tex]$\phi (x)$[/tex] per ottenere una funzione [tex]$f(x)$[/tex] che soddisfa le altre richieste.
Per costruzione la nostra [tex]$\phi (x)$[/tex] è pari, quindi se la integriamo con punto iniziale [tex]$0$[/tex] otteniamo una funzione dispari; conseguentemente se verifichiamo la condizione [tex]\int_0^\varepsilon \phi (t)\ \text{d} t =1[/tex] automaticamente otteniamo anche [tex]\int_0^{-\varepsilon} \phi (t)\ \text{d} t=-1[/tex]; con un po' di conti si vede che:
[tex]$\int_0^\varepsilon \phi (t)\ \text{d} t=-C \frac{16 \varepsilon^7}{35}$[/tex],
quindi scegliendo [tex]$C=-\tfrac{35}{16 \varepsilon^7}$[/tex] e ponendo:
[tex]$\Phi (x)=-\tfrac{35}{16 \varepsilon^7} \int_0^x (t^2-\varepsilon^2)^3 \text{d} t$[/tex]
si ha:
[tex]$\Phi (\pm \varepsilon )=\pm 1$[/tex], [tex]$\Phi^{(n)} (\pm \varepsilon)=0$[/tex] per [tex]$n=1,2,3$[/tex].
A questo punto rimane da far vedere che è possibile scegliere [tex]$f(x)$[/tex] in modo che [tex]$f^\prime (x)=\Phi (x)$[/tex]; quindi bisogna solo provare che è possibile determinare una primitiva [tex]$f(x)$[/tex] di [tex]$\Phi (x)$[/tex] tale che [tex]$f(\pm \varepsilon)=\varepsilon$[/tex]; visto che [tex]$\Phi (x)$[/tex] è dispari, la funzione integrale [tex]f(x):=C+\int_0^x \Phi (t)\ \text{d} t[/tex] è una primitiva pari di [tex]$\Phi (x)$[/tex]: conseguentemente se riusciamo a determinare la costante [tex]$C$[/tex] in modo da verificare la condizione [tex]$f(\varepsilon)=\varepsilon$[/tex], la condizione [tex]$f(-\varepsilon)=\varepsilon$[/tex] l'abbiamo in maniera del tutto gratuita ed abbiamo finito.
Dato che:
[tex]$f(\varepsilon)=C+\int_0^\varepsilon \Phi(t)\ \text{d} t=C+\tfrac{93\varepsilon}{128}$[/tex],
si ha [tex]$f(\varepsilon)=\varepsilon$[/tex] solo se [tex]$C=\tfrac{35\varepsilon}{128}$[/tex]; quindi la funzione:
[tex]$f(x)=\tfrac{35\varepsilon}{128} +\int_0^x \Phi (t)\ \text{d} t$[/tex]
ha [tex]$f(\pm \varepsilon)=\varepsilon$[/tex], [tex]$f^\prime (\pm \varepsilon)=\pm 1$[/tex] e [tex]$f^{(n)}(\pm \varepsilon)=0$[/tex] per [tex]$n=2,3,4$[/tex] ed è proprio la funzione che cercavamo.
Quindi, visto che il nostro raccordo si scrive:
[tex]$f(x)=\tfrac{35\varepsilon}{128} -\tfrac{35}{16 \varepsilon^7} \int_0^x \left\{ \int_0^t (\tau^2-\varepsilon^2)^3 \text{d} \tau\right\}\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$=\tfrac{35\varepsilon}{128} -\tfrac{35}{16 \varepsilon^7} \int_0^x (x-t)(t^2-\varepsilon^2)^3\ \text{d} t$[/tex],
la funzione definita ponendo:
[tex]$u_\varepsilon (x):=\begin{cases} u(x) &\text{, se $|x|\geq \varepsilon$} \\ f(x) &\text{, se $|x|\leq \varepsilon$}\end{cases}$[/tex]
[tex]$=\begin{cases} |x| &\text{, se $|x|\geq \varepsilon$} \\ \tfrac{35\varepsilon}{128} -\tfrac{35}{16 \varepsilon^7} \int_0^x (x-t)(t^2-\varepsilon^2)^3\ \text{d} t &\text{, se $|x|\leq \varepsilon$}\end{cases}$[/tex]
è una funzione di classe [tex]$C^4$[/tex] che coincide con [tex]$u(x)$[/tex] fuori dall'intervallino piccolo [tex]$[-\varepsilon ,\varepsilon]$[/tex]; evidentemente, poi, si ha [tex]$\lim_{\varepsilon \to 0^+} u_\varepsilon (x)=u(x)$[/tex] uniformemente in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
Per [tex]$\varepsilon =1/2$[/tex] si ottiene:
[tex]$f(x)=\tfrac{35}{256} + \tfrac{35}{16} x^2 - \tfrac{35}{8} x^4 + 7x^6 - 5 x^8$[/tex]
cosicché il grafico di [tex]$u_{1/2} (x)$[/tex] è il seguente:
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=-1;ymax=1;
axes("","");
plot("abs(x)",-2,-0.5); plot("abs(x)",0.5,2);
stroke="red"; plot("-5x^8+7x^6-35x^4/8 +35x^2/16 +35/256",-0.5,0.5);
stroke="lightgrey"; plot("abs(x)",-0.5,0.5);[/asvg]
Ad esempio, prendiamo [tex]$u(x)=|x|$[/tex], che ha un punto angoloso in [tex]$0$[/tex].
Fissiamo [tex]$\varepsilon >0$[/tex] e stacchiamo dal dominio l'intervallo [tex]$[-\varepsilon ,\varepsilon]$[/tex]; in tal modo ci rimangono due rami del grafico di [tex]$u(x)$[/tex], ossia quello definito in [tex]$]-\infty ,\varepsilon]$[/tex] e quello definito in [tex]$[\varepsilon ,+\infty[$[/tex].
Cerchiamo di raccordare i due rami in modo che la nuova funzione sia [tex]$C^4$[/tex]: per fare ciò dobbiamo determinare una funzione [tex]$f(x)$[/tex] definita almeno in [tex]$[-\varepsilon ,\varepsilon]$[/tex] tale che:
[tex]$f(\pm \varepsilon) =u(\pm \varepsilon)$[/tex], [tex]$f^{(n)}(\pm \varepsilon^\mp)=u^{(n)}(\pm \varepsilon)$[/tex] per [tex]$n=1,\ldots ,4$[/tex].
Visto che:
[tex]$u (\pm \varepsilon) =\varepsilon$[/tex], [tex]$u^\prime (\pm \varepsilon) =\pm 1$[/tex] e [tex]$u^{(n)}(\pm \varepsilon)=0$[/tex] per [tex]$n=2,3,4$[/tex],
le precedenti divengono:
[tex]$f (\pm \varepsilon) =\varepsilon$[/tex], [tex]$f^\prime (\pm \varepsilon) =\pm 1$[/tex] e [tex]$f^{(n)}(\pm \varepsilon)=0$[/tex] per [tex]$n=2,3,4$[/tex];
Per semplificarci la vita, può bastare scegliere [tex]$f(x)$[/tex] uguale ad un polinomio: in tale ottica, le ultime condizioni sono certamente verificate se si può scegliere [tex]$f(x)$[/tex] in modo che [tex]$f^{\prime \prime} (x)=\phi(x):=C(x-\varepsilon)^3(x+\varepsilon)^3=C(x^2-\varepsilon^2)^3$[/tex] ([tex]$C$[/tex] è una costante arbitraria); quindi ora bisogna vedere se è possibile integrare due volte [tex]$\phi (x)$[/tex] per ottenere una funzione [tex]$f(x)$[/tex] che soddisfa le altre richieste.
Per costruzione la nostra [tex]$\phi (x)$[/tex] è pari, quindi se la integriamo con punto iniziale [tex]$0$[/tex] otteniamo una funzione dispari; conseguentemente se verifichiamo la condizione [tex]\int_0^\varepsilon \phi (t)\ \text{d} t =1[/tex] automaticamente otteniamo anche [tex]\int_0^{-\varepsilon} \phi (t)\ \text{d} t=-1[/tex]; con un po' di conti si vede che:
[tex]$\int_0^\varepsilon \phi (t)\ \text{d} t=-C \frac{16 \varepsilon^7}{35}$[/tex],
quindi scegliendo [tex]$C=-\tfrac{35}{16 \varepsilon^7}$[/tex] e ponendo:
[tex]$\Phi (x)=-\tfrac{35}{16 \varepsilon^7} \int_0^x (t^2-\varepsilon^2)^3 \text{d} t$[/tex]
si ha:
[tex]$\Phi (\pm \varepsilon )=\pm 1$[/tex], [tex]$\Phi^{(n)} (\pm \varepsilon)=0$[/tex] per [tex]$n=1,2,3$[/tex].
A questo punto rimane da far vedere che è possibile scegliere [tex]$f(x)$[/tex] in modo che [tex]$f^\prime (x)=\Phi (x)$[/tex]; quindi bisogna solo provare che è possibile determinare una primitiva [tex]$f(x)$[/tex] di [tex]$\Phi (x)$[/tex] tale che [tex]$f(\pm \varepsilon)=\varepsilon$[/tex]; visto che [tex]$\Phi (x)$[/tex] è dispari, la funzione integrale [tex]f(x):=C+\int_0^x \Phi (t)\ \text{d} t[/tex] è una primitiva pari di [tex]$\Phi (x)$[/tex]: conseguentemente se riusciamo a determinare la costante [tex]$C$[/tex] in modo da verificare la condizione [tex]$f(\varepsilon)=\varepsilon$[/tex], la condizione [tex]$f(-\varepsilon)=\varepsilon$[/tex] l'abbiamo in maniera del tutto gratuita ed abbiamo finito.
Dato che:
[tex]$f(\varepsilon)=C+\int_0^\varepsilon \Phi(t)\ \text{d} t=C+\tfrac{93\varepsilon}{128}$[/tex],
si ha [tex]$f(\varepsilon)=\varepsilon$[/tex] solo se [tex]$C=\tfrac{35\varepsilon}{128}$[/tex]; quindi la funzione:
[tex]$f(x)=\tfrac{35\varepsilon}{128} +\int_0^x \Phi (t)\ \text{d} t$[/tex]
ha [tex]$f(\pm \varepsilon)=\varepsilon$[/tex], [tex]$f^\prime (\pm \varepsilon)=\pm 1$[/tex] e [tex]$f^{(n)}(\pm \varepsilon)=0$[/tex] per [tex]$n=2,3,4$[/tex] ed è proprio la funzione che cercavamo.
Quindi, visto che il nostro raccordo si scrive:
[tex]$f(x)=\tfrac{35\varepsilon}{128} -\tfrac{35}{16 \varepsilon^7} \int_0^x \left\{ \int_0^t (\tau^2-\varepsilon^2)^3 \text{d} \tau\right\}\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$=\tfrac{35\varepsilon}{128} -\tfrac{35}{16 \varepsilon^7} \int_0^x (x-t)(t^2-\varepsilon^2)^3\ \text{d} t$[/tex],
la funzione definita ponendo:
[tex]$u_\varepsilon (x):=\begin{cases} u(x) &\text{, se $|x|\geq \varepsilon$} \\ f(x) &\text{, se $|x|\leq \varepsilon$}\end{cases}$[/tex]
[tex]$=\begin{cases} |x| &\text{, se $|x|\geq \varepsilon$} \\ \tfrac{35\varepsilon}{128} -\tfrac{35}{16 \varepsilon^7} \int_0^x (x-t)(t^2-\varepsilon^2)^3\ \text{d} t &\text{, se $|x|\leq \varepsilon$}\end{cases}$[/tex]
è una funzione di classe [tex]$C^4$[/tex] che coincide con [tex]$u(x)$[/tex] fuori dall'intervallino piccolo [tex]$[-\varepsilon ,\varepsilon]$[/tex]; evidentemente, poi, si ha [tex]$\lim_{\varepsilon \to 0^+} u_\varepsilon (x)=u(x)$[/tex] uniformemente in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
Per [tex]$\varepsilon =1/2$[/tex] si ottiene:
[tex]$f(x)=\tfrac{35}{256} + \tfrac{35}{16} x^2 - \tfrac{35}{8} x^4 + 7x^6 - 5 x^8$[/tex]
cosicché il grafico di [tex]$u_{1/2} (x)$[/tex] è il seguente:
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=-1;ymax=1;
axes("","");
plot("abs(x)",-2,-0.5); plot("abs(x)",0.5,2);
stroke="red"; plot("-5x^8+7x^6-35x^4/8 +35x^2/16 +35/256",-0.5,0.5);
stroke="lightgrey"; plot("abs(x)",-0.5,0.5);[/asvg]
grazie mille per le risposte
stavo pensando, non si potrebbe creare un raccordo su una funzione con una discontinuità di salto per ridurre al minimo il fenomeno di gibbs in una serie di fourier?
stavo pensando, non si potrebbe creare un raccordo su una funzione con una discontinuità di salto per ridurre al minimo il fenomeno di gibbs in una serie di fourier?
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