Funzioni differenziabili
Ciao a tutti, vorrei sapere se è corretto e se è possibile ottenere una forma più semplice per f alla fine, grazie in anticipo
Trovare le funzioni $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ due volte differenziabili tali che $(\partial^2f)/ (\partial x \partial y)= 0$.
Supponiamo che $f$ sia una di queste funzioni.
Sia $y_0 \in \mathbb{R}$ fissato, allora $0 = (\partial^2f(x,y_0))/ (\partial x \partial y)=d/dx ((\partialf(x,y_0))/(\partialy))$ e quindi $(\partialf(x,y_0))/(\partialy) = c$ ove $c=c(x, y_0)$ è differenziabile e non dipende dalla x ( nel senso che tenendo fissa la y è costante).
Prendiamo ora $x_0 \in \mathbb{R}$, si ha $c(x_0,y) = (\partialf(x_0,y))/(\partialy) = d/dy f(x_0,y)$ e quindi $f(x_0, y) = f(x_0, 0) + \int_{0}^{y}c(x_0, t)dt$. Perciò le funzioni cercate devono essere del tipo $f(x, y) = b(x, y) + \int_{0}^{y}c(x, t)dt$ con $c$ differenziabile e indipendente dalla x e b differenziabile due volte e indipendente dalla y. Si verifica che una tale funzione è due volte differenziabile e $(\partial^2f)/ (\partial x \partial y)= 0$ quindi quelle sono tutte e sole le funzioni cercate.
Trovare le funzioni $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ due volte differenziabili tali che $(\partial^2f)/ (\partial x \partial y)= 0$.
Supponiamo che $f$ sia una di queste funzioni.
Sia $y_0 \in \mathbb{R}$ fissato, allora $0 = (\partial^2f(x,y_0))/ (\partial x \partial y)=d/dx ((\partialf(x,y_0))/(\partialy))$ e quindi $(\partialf(x,y_0))/(\partialy) = c$ ove $c=c(x, y_0)$ è differenziabile e non dipende dalla x ( nel senso che tenendo fissa la y è costante).
Prendiamo ora $x_0 \in \mathbb{R}$, si ha $c(x_0,y) = (\partialf(x_0,y))/(\partialy) = d/dy f(x_0,y)$ e quindi $f(x_0, y) = f(x_0, 0) + \int_{0}^{y}c(x_0, t)dt$. Perciò le funzioni cercate devono essere del tipo $f(x, y) = b(x, y) + \int_{0}^{y}c(x, t)dt$ con $c$ differenziabile e indipendente dalla x e b differenziabile due volte e indipendente dalla y. Si verifica che una tale funzione è due volte differenziabile e $(\partial^2f)/ (\partial x \partial y)= 0$ quindi quelle sono tutte e sole le funzioni cercate.
Risposte
E quindi alla fine hai scritto \(f(x, y)=\text{una arbitraria funzione di }(x, y)\). In altre parole, non hai fatto niente.
Il procedimento è quello ma lo devi fare come si deve.
Il procedimento è quello ma lo devi fare come si deve.
Intanto grazie per la risposta, c'ho pensato ma più di $f(x,y) = b(x) + c(y)$ con b e c due volte derivabili (b rispetto alla x e c alla y) non mi viene niente, potresti darmi un suggerimento?
"marco.ve":Questo è giusto!
Intanto grazie per la risposta, c'ho pensato ma più di $f(x,y) = b(x) + c(y)$ con b e c due volte derivabili (b rispetto alla x e c alla y)
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