Funzioni di Sobolev
Detta \(B\) una palla e \(B^\prime \subset\subset B\) un'altra palla, ho \(u\in W_0^{1,p}(B)\) tale che \(u=0\) in \(B^\prime\).
Posso dire che \(u\in W_0^{1,p}(B\setminus \overline{B^\prime})\)?
A occhio direi di sì, per la caratterizzazione delle funzioni di Sobolev come funzioni AC sulle linee... Ma non sono sicurissimo.
Posso dire che \(u\in W_0^{1,p}(B\setminus \overline{B^\prime})\)?
A occhio direi di sì, per la caratterizzazione delle funzioni di Sobolev come funzioni AC sulle linee... Ma non sono sicurissimo.
Risposte
Senza impazzire con tracce e similari, penso che si possa giungere a una dimostrazione usando la Prop. 9.18 del Brezis.
Considera infatti le due funzioni \(u\) e \(v\), dove \(v\) è la restrizione di \(u\) a \(B\setminus \overline{B'}\).
Se ora le estendiamo a \(0\) a tutto \(\mathbb{R}^n\), le loro estensioni coincidono.
L'estensione di \(u\) appartiene a \(W^{1,p}(\mathbb{R}^n)\) (per la citata proposizione); di conseguenza anche l'estensione di \(v\) sta in \(W^{1,p}(\mathbb{R}^n)\) e, sempre per la medesima proposizione, \(v\in W^{1,p}_0(B\setminus \overline{B'})\).
Considera infatti le due funzioni \(u\) e \(v\), dove \(v\) è la restrizione di \(u\) a \(B\setminus \overline{B'}\).
Se ora le estendiamo a \(0\) a tutto \(\mathbb{R}^n\), le loro estensioni coincidono.
L'estensione di \(u\) appartiene a \(W^{1,p}(\mathbb{R}^n)\) (per la citata proposizione); di conseguenza anche l'estensione di \(v\) sta in \(W^{1,p}(\mathbb{R}^n)\) e, sempre per la medesima proposizione, \(v\in W^{1,p}_0(B\setminus \overline{B'})\).
Certo, dovrebbe funzionare.
Grazie Righello.
Grazie Righello.
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