Funzioni di equazioni differenziali
Vorrei sapere se ho un sistema di 2 equazioni differenziali
$ { ( x'=f(t; x; y) ),( y'=g(t; x; y) ):} $
f e g sono funzioni da $ cc(R) ^3 $ a $ cc(R) $ oppure da $ cc(R) ^3 $ a $ cc(R) ^2 $???
$ { ( x'=f(t; x; y) ),( y'=g(t; x; y) ):} $
f e g sono funzioni da $ cc(R) ^3 $ a $ cc(R) $ oppure da $ cc(R) ^3 $ a $ cc(R) ^2 $???
Risposte
Dipende da come intendi le incognite.
Se $x,y$ sono funzioni scalari, allora $f,g$ sono funzioni scalari; se $x,y$ sono funzioni vettoriali, $f,g$ saranno funzioni vettoriali.
Se $x,y$ sono funzioni scalari, allora $f,g$ sono funzioni scalari; se $x,y$ sono funzioni vettoriali, $f,g$ saranno funzioni vettoriali.
Sono scalari perchè vettoriali le indico con la lettera maiusola!!!
Quello che volevo dire è che il problema non è ben posto. Insomma, devi sapere tu cosa rappresentano [tex]$x,y$[/tex] e poi regolarti di conseguenza.
Tanto per fare un esempio, la scrittura:
[tex]$\begin{cases} \dot{x} =f(t,x,y) \\ \dot{y} =g(t,x,y)\end{cases}$[/tex]
può tanto essere interpretata come sistema differenziale scalare (cioè con [tex]$x,y:I\to \mathbb{R}$[/tex] e quindi [tex]$f,g:\mathbb{R}^3\supseteq \Omega \to \mathbb{R}$[/tex]), tanto interpretata come scrittura vettoriale compatta per denotare il sistema:
[tex]$\begin{cases} \dot{x}_1 =f_1(t,x_1,\ldots ,x_h,y_1,\ldots ,y_k) \\ \vdots \\ \dot{x}_h =f_h(t,x_1,\ldots ,x_h,y_1,\ldots ,y_k) \\ \dot{y}_1 =g_1(t,x_1,\ldots ,x_h,y_1,\ldots ,y_k) \\ \vdots \\ \dot{y}_k =g_k(t,x_1,\ldots ,x_h,y_1,\ldots ,y_k)\end{cases}$[/tex]
di [tex]$h+k$[/tex] equazioni scalari nelle [tex]$h+k$[/tex] incognite scalari [tex]$x_1,\ldots x_h,y_1,\ldots ,y_k$[/tex] (in tal caso [tex]$x=(x_1,\ldots ,x_h):I\to \mathbb{R}^h$[/tex], [tex]$y=(y_1,\ldots ,y_k):I\to \mathbb{R}^k$[/tex] ed ovviamente [tex]$f=(f_1,\ldots ,f_h): \mathbb{R}^{1+h+k} \supseteq \Omega \to \mathbb{R}^h$[/tex], [tex]$g=(g_1,\ldots ,g_k): \mathbb{R}^{1+h+k} \supseteq \Omega \to \mathbb{R}^k$[/tex]).
Quindi la domanda giusta è: cosa sono [tex]$x$[/tex] ed [tex]$y$[/tex]?
Se sono scalari, allora [tex]$f,g$[/tex] sono anch'esse funzioni scalari (ossia a valori in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]), mentre se sono vettori, allora anche [tex]$f,g$[/tex] sono funzioni vettoriali (con [tex]$f$[/tex] avente la stessa dimensione di [tex]$x$[/tex] e [tex]$g$[/tex] la stessa dimensione di [tex]$y$[/tex]).
Tanto per fare un esempio, la scrittura:
[tex]$\begin{cases} \dot{x} =f(t,x,y) \\ \dot{y} =g(t,x,y)\end{cases}$[/tex]
può tanto essere interpretata come sistema differenziale scalare (cioè con [tex]$x,y:I\to \mathbb{R}$[/tex] e quindi [tex]$f,g:\mathbb{R}^3\supseteq \Omega \to \mathbb{R}$[/tex]), tanto interpretata come scrittura vettoriale compatta per denotare il sistema:
[tex]$\begin{cases} \dot{x}_1 =f_1(t,x_1,\ldots ,x_h,y_1,\ldots ,y_k) \\ \vdots \\ \dot{x}_h =f_h(t,x_1,\ldots ,x_h,y_1,\ldots ,y_k) \\ \dot{y}_1 =g_1(t,x_1,\ldots ,x_h,y_1,\ldots ,y_k) \\ \vdots \\ \dot{y}_k =g_k(t,x_1,\ldots ,x_h,y_1,\ldots ,y_k)\end{cases}$[/tex]
di [tex]$h+k$[/tex] equazioni scalari nelle [tex]$h+k$[/tex] incognite scalari [tex]$x_1,\ldots x_h,y_1,\ldots ,y_k$[/tex] (in tal caso [tex]$x=(x_1,\ldots ,x_h):I\to \mathbb{R}^h$[/tex], [tex]$y=(y_1,\ldots ,y_k):I\to \mathbb{R}^k$[/tex] ed ovviamente [tex]$f=(f_1,\ldots ,f_h): \mathbb{R}^{1+h+k} \supseteq \Omega \to \mathbb{R}^h$[/tex], [tex]$g=(g_1,\ldots ,g_k): \mathbb{R}^{1+h+k} \supseteq \Omega \to \mathbb{R}^k$[/tex]).
Quindi la domanda giusta è: cosa sono [tex]$x$[/tex] ed [tex]$y$[/tex]?
Se sono scalari, allora [tex]$f,g$[/tex] sono anch'esse funzioni scalari (ossia a valori in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]), mentre se sono vettori, allora anche [tex]$f,g$[/tex] sono funzioni vettoriali (con [tex]$f$[/tex] avente la stessa dimensione di [tex]$x$[/tex] e [tex]$g$[/tex] la stessa dimensione di [tex]$y$[/tex]).
Ciao a tutti sono capitato per caso qui mi è venuta la seguente curiosità: eistono metodi generali per risolvere analiticamente un sistema del tipo:
$ { ( x'=f(t; x; y) ),( y'=g(t; x; y) ):} $
$ { ( x'=f(t; x; y) ),( y'=g(t; x; y) ):} $
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