Funzioni di due variabili, limite
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }\frac{\sin(x^2+xy)}{x^2+y^2}[/tex]
Devo calcolare se esiste questo limite, per risolverlo avrei pensato di ricorrere a qualche cosa come:
[tex](x-y)^2\geq0[/tex] in modo da sfruttarla per una maggiorazione.
Ma non riesco a trovare quella giusta..
Devo calcolare se esiste questo limite, per risolverlo avrei pensato di ricorrere a qualche cosa come:
[tex](x-y)^2\geq0[/tex] in modo da sfruttarla per una maggiorazione.
Ma non riesco a trovare quella giusta..
Risposte
Se non sbaglio avevi già postato questo limite.
E io ti consigliai di calcolare il limite prima ponendo $x=0$, poi $x=y$.
Prova e facci sapere.
E io ti consigliai di calcolare il limite prima ponendo $x=0$, poi $x=y$.
Prova e facci sapere.
Allora per [tex]x=y[/tex] fa 1 perchè è notevole.
Per x=0 avrei [tex]\frac{\sin(0)}{y^2}[/tex] ?
Sento odore di 0 e quindi il limite non dovrebbe esistere, ma:
Non è forma indeterminata?
Per x=0 avrei [tex]\frac{\sin(0)}{y^2}[/tex] ?
Sento odore di 0 e quindi il limite non dovrebbe esistere, ma:
Non è forma indeterminata?
No, errore tipico.
Abbiamo la funzione
[tex]$f(x,y)=\frac{\sin^2(x^2+xy)}{x^2+y^2}$[/tex]
Quando noi diciamo "pongo [tex]$x=0$[/tex]" stiamo praticamente valutando (o calcolando, è analogo) la funzione lungo tutti i punti per cui [tex]$x=0$[/tex], ovvero l'asse $y$.
Cioè
[tex]$f(0,y)=\frac{\sin^2(0^2+0\cdot y)}{0^2+y^2}$[/tex] ovvero
[tex]$f(0,y)=0$[/tex]
Quindi se noi ci avviciniamo a zero lungo la direzione [tex]$x=0$[/tex] il limite vale zero senza indeterminazione visto che la funzione di cui stiamo calcolando il limite è identicamente nulla.
Ti torna?
Ciao.
Abbiamo la funzione
[tex]$f(x,y)=\frac{\sin^2(x^2+xy)}{x^2+y^2}$[/tex]
Quando noi diciamo "pongo [tex]$x=0$[/tex]" stiamo praticamente valutando (o calcolando, è analogo) la funzione lungo tutti i punti per cui [tex]$x=0$[/tex], ovvero l'asse $y$.
Cioè
[tex]$f(0,y)=\frac{\sin^2(0^2+0\cdot y)}{0^2+y^2}$[/tex] ovvero
[tex]$f(0,y)=0$[/tex]
Quindi se noi ci avviciniamo a zero lungo la direzione [tex]$x=0$[/tex] il limite vale zero senza indeterminazione visto che la funzione di cui stiamo calcolando il limite è identicamente nulla.
Ti torna?
Ciao.
Mh...cioè.
Possiamo dire che il limite vale 0 perchè la funzione in quel punto diventa esattamente 0 e allora più 0 di quello non ce n'è
Quindi, mi stai dicendo che di per se:
[tex]\frac{\sin(0)}{y^2}[/tex] E' UNA FORMA INDETERMINATA, ma siccome la funzione diventa 0 ed è identicamente nulla possiamo dire che il limite allora sarà 0?
P.S un'altra cosa mentre ci sono....se avessi:
[tex]\frac{\sin(x^2+xy)}{\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]
Non mi sembra di trovare restrizioni con limite diverso, Se considero una restrizione con x=y e vedo che il limite è 0, lavorando un pò per ottenere il limite notevole, non posso concludere nulla con una restrizione vero?
Anche questo non saprei come trattarlo...
Possiamo dire che il limite vale 0 perchè la funzione in quel punto diventa esattamente 0 e allora più 0 di quello non ce n'è
Quindi, mi stai dicendo che di per se:
[tex]\frac{\sin(0)}{y^2}[/tex] E' UNA FORMA INDETERMINATA, ma siccome la funzione diventa 0 ed è identicamente nulla possiamo dire che il limite allora sarà 0?
P.S un'altra cosa mentre ci sono....se avessi:
[tex]\frac{\sin(x^2+xy)}{\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]
Non mi sembra di trovare restrizioni con limite diverso, Se considero una restrizione con x=y e vedo che il limite è 0, lavorando un pò per ottenere il limite notevole, non posso concludere nulla con una restrizione vero?
Anche questo non saprei come trattarlo...
No, non è così.
La quantità (in un intorno bucato di zero) [tex]$\frac{\sin 0}{y^2}$[/tex] non è una forma indeterminata al tendere di $y$ a zero.
Infatti quella è una quantità costante, vale zero sempre.
Quello che sto cercando di dirti, è che se fissiamo $x$ ci ritroviamo con una funzione ad una variabile.
Puoi visualizzare questa cosa graficamente: mentre se hai [tex]$f(x,y)$[/tex] puoi muoverti su tutto il dominio, se ad esempio fissi [tex]$x=0$[/tex] sei vincolato a muoverti solo lungo l'asse $y$, hai una funzione ad una sola variabile.
Puoi scriverla come [tex]$f(0,y)$[/tex], e questa funzione associa ad ogni punto dell'asse $y$ del tipo [tex]$(0,y)$[/tex] il valore di $f$ là.
Si vede subito che ogni punto finisce in [tex]$0$[/tex], e questo senza fare limiti e senza nulla.
Detto in maniera rigorosa: la restrizione della funzione [tex]$f$[/tex] ai punti del tipo [tex]$(0,y)$[/tex] ($y$ non nullo) è una funzione costante (vale zero sempre).
Per il secondo, puoi usare il fatto che [tex]$|\sin t|\le |t|$[/tex] per ogni [tex]$t$[/tex] reale.
Ti è un po' più chiaro ora?
La quantità (in un intorno bucato di zero) [tex]$\frac{\sin 0}{y^2}$[/tex] non è una forma indeterminata al tendere di $y$ a zero.
Infatti quella è una quantità costante, vale zero sempre.
Quello che sto cercando di dirti, è che se fissiamo $x$ ci ritroviamo con una funzione ad una variabile.
Puoi visualizzare questa cosa graficamente: mentre se hai [tex]$f(x,y)$[/tex] puoi muoverti su tutto il dominio, se ad esempio fissi [tex]$x=0$[/tex] sei vincolato a muoverti solo lungo l'asse $y$, hai una funzione ad una sola variabile.
Puoi scriverla come [tex]$f(0,y)$[/tex], e questa funzione associa ad ogni punto dell'asse $y$ del tipo [tex]$(0,y)$[/tex] il valore di $f$ là.
Si vede subito che ogni punto finisce in [tex]$0$[/tex], e questo senza fare limiti e senza nulla.
Detto in maniera rigorosa: la restrizione della funzione [tex]$f$[/tex] ai punti del tipo [tex]$(0,y)$[/tex] ($y$ non nullo) è una funzione costante (vale zero sempre).
Per il secondo, puoi usare il fatto che [tex]$|\sin t|\le |t|$[/tex] per ogni [tex]$t$[/tex] reale.
Ti è un po' più chiaro ora?
Mh...si credo di si...essendo nulla la funzione il limite fa senz'altro zero.
Per la seconda quindi dovrei avere:
[tex]|\sin(x^2+xy)|\leq|x^2+xy|[/tex]
Dato che il secondo tende a 0, posso dedurre che nel limite il numeratore tenderà a 0, e quindi che l'intero limite faccia 0?
Per la seconda quindi dovrei avere:
[tex]|\sin(x^2+xy)|\leq|x^2+xy|[/tex]
Dato che il secondo tende a 0, posso dedurre che nel limite il numeratore tenderà a 0, e quindi che l'intero limite faccia 0?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo