Funzioni di Dirichlet: continuità e derivabilità
Bon giorno a tutti; mi chiamo Enrico e sono nuovo del Forum. Desideravo porvi una domanda riguardo una funzione di Dirichlet, la sua continuità e l'eventuale derivabilità in un punto.
La funzione in questione è la seguente:
(scusate se scrivo in modo barbaro la notazione, ma devo prenderci un po mano....)
f(x) = x^2 (razionali) e
f(x) = (ln(1+x))/1+x sugli irrazionali.
Il problema chiede chiede di trovare la risposta giusta tra:
A) E' derivabile e quindi continua in x=0
B) E' continua ma non derivabile in x=0
C) E' derivabile ma non continua in x=0
D) Non è continua e quindi non derivabile in x=0.
Io ho ragionato in questo modo.
Ho prima di tutto trovato i punti in cui la funzione è continua, risolvendo l'equazione trascendente (x^2)(1+x)=ln(1+x)
Le soluzioni sono state x=0 (che è il punto che ci interessa) e un'altra che approssimata è circa 1/2.
In x=0 la funzione è quindi continua. Si scartano quindi la D e la C; la prima perché si è provata non vera e la seconda perché la continuità è una condizione necessaria per la derivabilità.
A questo punto non mi resta che controllare la derivabilità; visto che l'ascissa del punto il questione è un numero razionale, la funzione che mi interessa è la parabola centrata nell'origine. Facendo la derivata, dunque, e sostituendo l'ascissa stessa del punto, ottengo che la funzione sia derivabile (la derivata sinistra e desta coincidono con valore 0).
Per questo ho optato per l'opzione A.
Desideravo sapere se questo procedimento fosse corretto o meno, principalmente nella seconda parte.
Vi ringrazio molto in anticipo e mi scuso per il disturbo.
Distinti saluti
Enrico Catanzani
La funzione in questione è la seguente:
(scusate se scrivo in modo barbaro la notazione, ma devo prenderci un po mano....)
f(x) = x^2 (razionali) e
f(x) = (ln(1+x))/1+x sugli irrazionali.
Il problema chiede chiede di trovare la risposta giusta tra:
A) E' derivabile e quindi continua in x=0
B) E' continua ma non derivabile in x=0
C) E' derivabile ma non continua in x=0
D) Non è continua e quindi non derivabile in x=0.
Io ho ragionato in questo modo.
Ho prima di tutto trovato i punti in cui la funzione è continua, risolvendo l'equazione trascendente (x^2)(1+x)=ln(1+x)
Le soluzioni sono state x=0 (che è il punto che ci interessa) e un'altra che approssimata è circa 1/2.
In x=0 la funzione è quindi continua. Si scartano quindi la D e la C; la prima perché si è provata non vera e la seconda perché la continuità è una condizione necessaria per la derivabilità.
A questo punto non mi resta che controllare la derivabilità; visto che l'ascissa del punto il questione è un numero razionale, la funzione che mi interessa è la parabola centrata nell'origine. Facendo la derivata, dunque, e sostituendo l'ascissa stessa del punto, ottengo che la funzione sia derivabile (la derivata sinistra e desta coincidono con valore 0).
Per questo ho optato per l'opzione A.
Desideravo sapere se questo procedimento fosse corretto o meno, principalmente nella seconda parte.
Vi ringrazio molto in anticipo e mi scuso per il disturbo.
Distinti saluti
Enrico Catanzani
Risposte
Cosa succede se calcoli separatamente i limiti:
\[
\lim_{x\to 0,\ x\in \mathbb{Q}} \frac{f(x)-f(0)}{x}\qquad \text{e} \qquad \lim_{x\to 0,\ x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}} \frac{f(x)-f(0)}{x} \text{?}
\]
\[
\lim_{x\to 0,\ x\in \mathbb{Q}} \frac{f(x)-f(0)}{x}\qquad \text{e} \qquad \lim_{x\to 0,\ x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}} \frac{f(x)-f(0)}{x} \text{?}
\]
Vengono 0 entrambi i limiti, il che implica che la funzione sia derivabile in x=0.
Quindi non si deve considerare solo la parte di funzione che riguarda il punto, ma analizzare come tendono a 0 entrambi i rami della funzione per un numero razionale e irrazionale, giusto?
grazie 1000
Quindi non si deve considerare solo la parte di funzione che riguarda il punto, ma analizzare come tendono a 0 entrambi i rami della funzione per un numero razionale e irrazionale, giusto?
grazie 1000
Ma non mi pare che siano entrambi zero...
In particolare:
\[
\lim_{x\to 0,\ x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}} \frac{f(x)-f(0)}{x} =\lim_{x\to 0,\ x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}} \frac{\ln (1+x)}{x}\ \frac{1}{1+x} =1\; .
\]
In particolare:
\[
\lim_{x\to 0,\ x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}} \frac{f(x)-f(0)}{x} =\lim_{x\to 0,\ x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}} \frac{\ln (1+x)}{x}\ \frac{1}{1+x} =1\; .
\]
MI scusi se insisto, ma non dovrei moltiplicare sia al numeratore che al denominatore per 0? non ho capito come ha trasformato il limite...
EDIT: Non intendevo dire per 0, ma per x, mi perdoni
EDIT: Non intendevo dire per 0, ma per x, mi perdoni
E perché dovrei moltiplicare per \(x\)?
Quello che ho scritto è il limite del rapporto incrementale di \(f\) relativo al punto \(0\), il quale, passato al limite, dà informazioni circa la derivabilità della funzione in \(0\).
Hai:
\[
f(x):= \begin{cases} x &\text{, se } x^2\in \mathbb{Q}\\
\frac{\log (1+x)}{1+x} &\text{, se } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\; .\end{cases}
\]
Ora, per \(x\neq 0\), il rapporto incrementale relativo ad \(f\) in \(0\) è dato da:
\[
\phi (x;0):=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \begin{cases} x &\text{, se } x\in \mathbb{Q} \text{ ed } x\neq 0\\
\frac{\log (1+x)}{x(1+x)} &\text{, se } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\; .\end{cases}
\]
Considerando i limiti delle restrizioni di \(\phi (x;0)\) a \(\mathbb{Q}\) ed \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) si trova:
\[
\lim_{x\to 0,\ x\in \mathbb{Q}} \phi (x;0) =0\neq 1=\lim_{x\to 0,\ x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}} \phi (x;0)
\]
cosicché \(f\) non è derivabile in \(0\).
Quello che ho scritto è il limite del rapporto incrementale di \(f\) relativo al punto \(0\), il quale, passato al limite, dà informazioni circa la derivabilità della funzione in \(0\).
Hai:
\[
f(x):= \begin{cases} x &\text{, se } x^2\in \mathbb{Q}\\
\frac{\log (1+x)}{1+x} &\text{, se } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\; .\end{cases}
\]
Ora, per \(x\neq 0\), il rapporto incrementale relativo ad \(f\) in \(0\) è dato da:
\[
\phi (x;0):=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \begin{cases} x &\text{, se } x\in \mathbb{Q} \text{ ed } x\neq 0\\
\frac{\log (1+x)}{x(1+x)} &\text{, se } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\; .\end{cases}
\]
Considerando i limiti delle restrizioni di \(\phi (x;0)\) a \(\mathbb{Q}\) ed \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) si trova:
\[
\lim_{x\to 0,\ x\in \mathbb{Q}} \phi (x;0) =0\neq 1=\lim_{x\to 0,\ x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}} \phi (x;0)
\]
cosicché \(f\) non è derivabile in \(0\).
Perfetto, ho capito, avevo sbagliato i conti non mettendo un denominatore. Grazie 1000 e scusi per l'insistenza
Distinti saluti
Distinti saluti
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