Funzioni di bessel
Salve a tutti,
Ho risolto, un po' arrabattandomi tra libri incomprensibili
, un'equazione differenziale col metodo delle variabili separabili. Una delle due equazioni differenziali che compongono la soluzione, riarrangiata, faceva spuntare fuori l'equazione differenziale di bessel. La soluzione mi viene dunque $f(x) = a*J_0(x*b)$ (era il caso particolare in cui $v=0$). $a$ e $b$ sono delle costanti. Adesso il problema è che le condizioni al contorno che devo imporre per determinare le costanti sono:
$((df(x))/(dx))_0 = 0$
$((df(x))/(dx))_R = 0$
Ma non mi viene fuori nulla di sensato perché in 0 le funzioni di bessel danno problemi... (e poi anche la seconda condizione al contorno non mi rassicura...)
Qualche suggerimento su come aggirare il problema?
La funzione nulla non è un opzione fisicamente accettabile purtroppo...
Ho risolto, un po' arrabattandomi tra libri incomprensibili
, un'equazione differenziale col metodo delle variabili separabili. Una delle due equazioni differenziali che compongono la soluzione, riarrangiata, faceva spuntare fuori l'equazione differenziale di bessel. La soluzione mi viene dunque $f(x) = a*J_0(x*b)$ (era il caso particolare in cui $v=0$). $a$ e $b$ sono delle costanti. Adesso il problema è che le condizioni al contorno che devo imporre per determinare le costanti sono:$((df(x))/(dx))_0 = 0$
$((df(x))/(dx))_R = 0$
Ma non mi viene fuori nulla di sensato perché in 0 le funzioni di bessel danno problemi... (e poi anche la seconda condizione al contorno non mi rassicura...)
Qualche suggerimento su come aggirare il problema?
La funzione nulla non è un opzione fisicamente accettabile purtroppo...
Risposte
Ciao dRic,
Un'equazione differenziale di Bessel è del secondo ordine, quindi non può avere una sola costante. Forse è meglio se posti qual è l'equazione iniziale. Di solito la soluzione di un'equazione di Bessel con $n$ intero è la seguente:
$Z_{n}(x) = c_1 J_n(x) + c_2 Y_n(x) $
Dai un'occhiata qui:
http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheFirstKind.html
Un'equazione differenziale di Bessel è del secondo ordine, quindi non può avere una sola costante. Forse è meglio se posti qual è l'equazione iniziale. Di solito la soluzione di un'equazione di Bessel con $n$ intero è la seguente:
$Z_{n}(x) = c_1 J_n(x) + c_2 Y_n(x) $
Dai un'occhiata qui:
http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheFirstKind.html
Eh infatti, a e b sono le costanti da trovare. Comunque se è $n=0$ le due funzioni sono uguali quindi ho una sola costante che moltiplica la funzione (nel mio caso ho anche l'incognita b quindi rimane la necessità di avere 2 condizioni al contorno).
No, non puoi sostituire $n = 0 $ perché $Y_{\nu}(x)$ è una forma indeterminata per $\nu = 0 $: devi passare al limite per $\nu to 0 $
Perché è una forma indeterminata ?
Perché si ha:
$Y_n(x) = lim_{\nu \to n} frac{J_{\nu}(x) cos(\pi \nu) - J_{-\nu}(x)}{sin(\pi \nu)} $
Nel tuo caso $n = 0 $.
$Y_n(x) = lim_{\nu \to n} frac{J_{\nu}(x) cos(\pi \nu) - J_{-\nu}(x)}{sin(\pi \nu)} $
Nel tuo caso $n = 0 $.
Sono un po' in difficoltà a valutare questo limite... domani mi ci scervellerò ancora. Grazie
"dRic":
Grazie
Prego!
"dRic":
Sono un po' in difficoltà a valutare questo limite...
Eh ci credo, non sono mica cose banali...
Per fortuna nel caso $n = 0 $ le formule sono note... Si ha:
$J_0 (x) = sum_{n = 0}^{+\infty} frac{(-1)^n}{(n!)^2}(x/2)^{2n} = frac{1}{pi} int_0^{pi} e^{ix cos\theta} d\theta $
$Y_0(x) = frac{2}{pi}[ln(x/2) + \gamma]J_0(x) + frac{2}{pi} sum_{n = 1}^{+\infty} H_n frac{(-1)^{n + 1}}{(n!)^2}(x/2)^{2n}$
ove $\gamma $ è la costante di Eulero-Mascheroni e $H_n := sum_{k = 1}^{n} 1/k = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n $ è un numero armonico.
Sussistono poi delle comode approssimazioni se $|x|$ è molto minore di $1$:
$ J_0 (x) ~~ 1 $
$Y_0(x) ~~ frac{2}{pi}[ln(x/2) + \gamma] ~= frac{2}{pi} ln(x) $
Grazie mille, molto gentile!! 
Comunque siccome mi sto studiando questi argomenti da solo (e non sono mai stato un asso in matematica), vorrei cogliere l'occasione per vedere se ho capito un concetto: quando ho un equazione differenziale di bessel, in primis, tento di ricavare la soluzione polinomiale secondo la serie di Frobenius (che è una "semplice" serie di potenze). Faccio un paio di conti e pervengo alla formula "generale" $y(x) = c_1J_v(x) + c_2J_(-v)(x)$. Poi mi accorgo che per $v$ intero allora sono nei pasticci perché salta fuori che $J_(-v)(x) = (-1)^vJ_v(x)$ quindi non sono più due soluzioni linearmente indipendenti. Allora, tenendo buono $J_v(x)$ vado alla ricerca di un'altra soluzione (che stavolta si linearmente indipendente) e trovo (non so come) $Y_n = ...$. Ho colto il ragionamento che ci sta dietro, più o meno?
Comunque siccome mi sto studiando questi argomenti da solo (e non sono mai stato un asso in matematica), vorrei cogliere l'occasione per vedere se ho capito un concetto: quando ho un equazione differenziale di bessel, in primis, tento di ricavare la soluzione polinomiale secondo la serie di Frobenius (che è una "semplice" serie di potenze). Faccio un paio di conti e pervengo alla formula "generale" $y(x) = c_1J_v(x) + c_2J_(-v)(x)$. Poi mi accorgo che per $v$ intero allora sono nei pasticci perché salta fuori che $J_(-v)(x) = (-1)^vJ_v(x)$ quindi non sono più due soluzioni linearmente indipendenti. Allora, tenendo buono $J_v(x)$ vado alla ricerca di un'altra soluzione (che stavolta si linearmente indipendente) e trovo (non so come) $Y_n = ...$. Ho colto il ragionamento che ci sta dietro, più o meno?
"dRic":
Grazie mille, molto gentile!!
Prego!
"dRic":
Comunque siccome mi sto studiando questi argomenti da solo
... E già questo di per sè lo vedo piuttosto eroico...
"dRic":
Ho colto il ragionamento che ci sta dietro, più o meno?
Beh, diciamo che se $\nu $ è intero o meno te ne accorgi subito dall'equazione differenziale di partenza.
C'è parecchio materiale reperibile anche in rete sulle funzioni di Bessel. Te ne segnalo un paio:
http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheSecondKind.html
http://microwave.unipv.it/pages/campi_circuiti_II/appunti/u05%20Bessel.pdf
Per quest'ultimo, che è l'appendice E di uno dei testi (se poi ti interessa ti dico anche qual è...
) sui quali ho studiato quell'argomento ed anche qualche altro (esame di Campi Elettromagnetici e Circuiti) ti segnalo anche un errore nella formula (E.6) che fornisce $N_0(x) \equiv Y_0(x) $ perché in realtà la sommatoria che compare in quella formula parte da $1$ e non da $0$ ($\phi(m) \equiv H_m $ non è definita per $m = 0 $).
Grazie mille del materiale... Ma sarà una cosa molto lunga perché devo dare, purtroppo, la precedenza agli esami "concreti" della mia facoltà... 
Comunque
si, mi accorgo subite se $v$ è intero, io volevo avere conferma sul ragionamento che nel caso in cui $v$ sia intero allora mi accorgo che le soluzioni sono dipendenti e allora mi serve cercare una nuova soluzione
Comunque
Beh, diciamo che se ν è intero o meno te ne accorgi subito dall'equazione differenziale di partenza.
si, mi accorgo subite se $v$ è intero, io volevo avere conferma sul ragionamento che nel caso in cui $v$ sia intero allora mi accorgo che le soluzioni sono dipendenti e allora mi serve cercare una nuova soluzione
"dRic":
Grazie mille del materiale...
Prego
"dRic":
volevo avere conferma sul ragionamento che nel caso in cui $\nu $ sia intero allora mi accorgo che le soluzioni sono dipendenti e allora mi serve cercare una nuova soluzione
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