Funzioni derivabili in un punto
Ciao a tutti, ho un dubbio che mi assilla da un paio di giorni, ho provato a cercare risposta negli archivi di matematicamente ma non l'ho trovata. il dubbio è il seguente:
sapendo che per verificare la dervabilità di una funzione in un punto occorre utilizzare la definizione di derivata calcolando il limite del rapporto incrementale, mi chiedevo se esiste una certa classe di funzioni per cui invece basta verificare che i limiti dx e sx della funzione derivata prima siano uguali tra loro (in generale, è una condizione sufficiente ma non necessaria).
inoltre vorrei sapere se esiste una funzione tale che, in un punto x0, la funzione derivata prima (calcolata mediante le regole di derivazione) ha limite infinito (anche solo per x che tende ad x0 solo da dx o sx) e la funzione è derivabile in x0.
in pratica: se il limite di f'(x) per x che tende ad x0+ è infinito posso dire subito che la funzione non è derivabile in x0?
sarei molto contento se qualcuno potresse darmi una mano. ciao ciao obert. [/code]
sapendo che per verificare la dervabilità di una funzione in un punto occorre utilizzare la definizione di derivata calcolando il limite del rapporto incrementale, mi chiedevo se esiste una certa classe di funzioni per cui invece basta verificare che i limiti dx e sx della funzione derivata prima siano uguali tra loro (in generale, è una condizione sufficiente ma non necessaria).
inoltre vorrei sapere se esiste una funzione tale che, in un punto x0, la funzione derivata prima (calcolata mediante le regole di derivazione) ha limite infinito (anche solo per x che tende ad x0 solo da dx o sx) e la funzione è derivabile in x0.
in pratica: se il limite di f'(x) per x che tende ad x0+ è infinito posso dire subito che la funzione non è derivabile in x0?
sarei molto contento se qualcuno potresse darmi una mano. ciao ciao obert. [/code]
Risposte
"ViciousGoblinEnters":
Forse è utile aggiungere che la "difficoltà" a trovare l'esempio ha una motivazione.
In effetti se $f$ è continua in $x_0$, derivabile vicino a $x_0$ e se ESISTE
il limite $l=\lim_{x\to x_0}f'(x)$, allora $f$ è derivabile in $x_0$ e si ha
$f'(x_0)=l$. Questa è una semplice conseguenza del teorema di Lagrange (o se
vuoi puoi applicare de l'Hospital).
Quindi per trovare il controesempio devi cercare una situazione in cui
il limite sopra NON ESISTE - come ti ha egregiamente mostrato gabriel.
ok, ma funziona solo per $l$ finito o anche se il limite è infinito? cosa posso dire se il limite non esiste mentre quelli destro e sinistro sì ma sono diversi? e ViciousGoblinEnters si riferisce al teorema del valor medio di Lagrange?
grazie
Se fai caso a quello che ha detto ViciousGoblinEnters
puoi subito concludere che se il limite destro, o sinistro, esiste ma è infinito, la funzione non può essere derivabile in quel punto.
"ViciousGoblinEnters":
Quindi per trovare il controesempio devi cercare una situazione in cui
il limite sopra NON ESISTE
puoi subito concludere che se il limite destro, o sinistro, esiste ma è infinito, la funzione non può essere derivabile in quel punto.
"obert":
mi chiedevo se esiste una certa classe di funzioni per cui invece basta verificare che i limiti dx e sx della funzione derivata prima siano uguali tra loro [/code]
Sì, esiste: la classe delle funzioni $C^1$. Se la condizione che citi è verificata (ma bisogna aggiungere l'ipotesi che $f$ sia continua), allora la funzione in esame non è solo derivabile ma anzi è derivabile con derivata continua. Questa è una condizione più forte, come dimostra il controesempio $f(x)=xsin(1/x), f(0)=0$, che è derivabile ma non $C^1$.
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